2015-2016学年人教版高中数学必修一课件 第3章 3.1.2 用二分法求方程的近似解

第三章函数的应用进入导航第三章函数的应用RJA版·数学·必修1第三章函数的应用进入导航3.1函数与方程第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修13.1.2用二分法求方程的近似解巩固篇课时作业预习篇课堂篇提高篇第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修11.知道二分法的定义，会用二分法求方程的近似解；2.明确精确度ε与近似值的区别.学习目标第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1重点：二分法求方程的近似解；难点：二分法定义的理解.重点难点第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1预习篇01新知导学第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1对于在区间[a，b]上，且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．二分法的概念连续不断f(a)·f(b)0一分为二第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修11．用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：①f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断；②f(a)f(b)0.2．是否所有的函数都能用二分法判断零点所在区间？提示：不是所有的函数都能用二分法来判断零点所在区间．只有图象在给定区间上是连续不断的，且在区间的端点处的函数值是异号的函数，才可以用二分法求函数零点所在区间．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修13．如果一个函数在一个区间内有零点，那么用二分法能找出这个函数在该区间内的所有零点吗？提示：不能．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修14．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点吗？提示：对于函数f(x)，若满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内不一定有零点，反之，f(x)在区间(a，b)内有零点也不一定有f(a)·f(b)0，如图所示．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1(1)确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤f(a)·f(b)0第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)0，则令b＝x1(此时零点x0∈)；③若f(x1)·f(b)0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．x1(a，x1)|a－b|ε第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修15．“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，具体说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|ε，则x′是精确度为ε的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满足|a－b|ε，两端点或区间内的任意一个数均可作为方程的近似解．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1(2)精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x′，x′的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.1415926…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.1416，精确到0.0001(即万分位)．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修16．你知道为什么当|a－b|ε时，可将a或b的值看成方程的近似解吗？提示：当|a－b|ε时，由于方程根的真实值x0∈[a，b]，所以|a－x0||a－b|ε，所以a与方程根的真实值x0的误差不超过精确度ε，故可用a来作为方程的近似解．用b的原因同样．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修11．二分法的实质二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修12．理解二分法的概念时要注意的两点(1)二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精确度，只需进行有限次运算即可．(2)它的依据是函数零点的判定定理，即根的存在性定理．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修13．用二分法求函数零点的近似值的两个关键点(1)初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间)．(2)进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算(关键词：判断精确度)．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1课堂篇02合作探究第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【例1】下列图象表示的函数能用二分法求零点的是()理解二分法的概念第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【解析】对于选项A，图象与x轴无交点，不能用二分法求零点；对于选项B，图象与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，故选C.【答案】C第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1通法提炼1.本题给出了各个函数的图象，可根据图象与x轴有交点，且交点左右的函数值异号才能用二分法求零点．2．判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1如下图所示，下列函数的图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交点横坐标的是()第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1解析：按二分法定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足．在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.答案：A第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【例2】判断函数y＝x3－x－1在区间(1,1.5)内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．用二分法求函数零点的近似解第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【解析】由题目可获取以下主要信息：①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点，可用根的存在性定理判断；②精确度0.1解答本题在判断出在(1,1.5)内有零点后可用二分法求解．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【解】因为f(1)＝－10,f(1.5)＝0.8750，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间(1,1.5)内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.3(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08由于|1.34375－1.3125|＝0.031250.1，所以函数的一个近似零点可取1.3125.第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1通法提炼此类问题按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算.第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1(1)设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1解析：∵f(1.25)·f(1.5)0，∴方程的根在区间(1.25,1.5)内．答案：B第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1(2)借助计算器，用二分法求出ln(2x＋6)＋2＝3x在区间(1,2)内的近似解(精确度0.2)．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1解：原方程即ln(2x＋6)－3x＋2＝0.令f(x)＝ln(2x＋6)－3x＋2，用计算器做出如下对应值表x－2－1012f(x)2.58203.05302.79181.0794－4.6974第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1观察上表，可知零点在(1,2)内，取区间中点x1＝1.5，且f(1.5)≈－1.00，从而可知零点在(1,1.5)内；再取区间中点x2＝1.25，且f(1.25)≈0.20，从而可知零点在(1.25,1.5)内；同理取区间中点x3＝1.375，且f(1.375)0，从而可知零点在(1.25,1.375)内．由于|1.375－1.25|＝0.1250.2，所以原方程的近似解可取为1.375.(也可取1.25)第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【例3】一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？二分法的实际应用第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【解析】对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图所示，只需选线路AB的中点C，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC还是BC，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，所以至多需要检测6次．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1通法提炼本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过取区间或线路的中点，依次使区间的长度或焊接点个数减半，就逐步逼近了函数的零点或焊接点脱落处，从而使问题得到解决.第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1解：把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1提高篇03自我超越第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1——规范解答系列——函数零点的应用【典例1】求方程3x＋xx＋1＝0的近似解(精确度0.1)．第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1第三章·3.1·3.1.2进入导航RJA版·数学·必修1【解】原方程可化为3x－1x＋1＋1＝0，即3x＝1x＋1－1.第三章·3.1·3.1.2进入导航