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1第十二章《轴对称》§12.1轴对称（一）一、引入：我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往是与图形的对称联系在一起的，无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术间的创造，还是日常生活中的图案设计，都和对称密不可分。看了下面的这些图片，你还能从日常生活中找出对称的实例吗？二、新课：1．将一张纸对折，剪出一个图案，再打开这张纸，观察得到的图形他们与前面的图案有什么共同特点？位于折痕两侧的部分有什么关系？2．轴对称图形的定义：（p29）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们说这个图形关于这条直线（成轴）对称。注：①轴对称图形是一个具有特殊特征的图形——对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全等形；②一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。例题1、观察下列各图，判断他们是否为轴对称图形。（关键：①能够沿着某条直线对折；②对折后的两部分图形能够完全重合）答案：（1）、（6）例2、下列7个汉字：北、目、田、中、吕、材、上，是轴对称图形的有哪些。例3、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是说出它的所有对称轴。①三角形、直角三角形、等腰三角形，②正方形、长方形、等腰梯形，③圆形，④五边形，正五边形观察：abc2轴对称的定义：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。注：①轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，包含两层意思：有两个图形，形状、大小完全相同（全等形）；重合的方式有限制，即他们的位置必须满足一个条件：把他们沿某一条直线折叠后能够完全重合。简单说：轴对称必全等，全等不一定轴对称。轴对称图形与轴对称的区别和联系：区别：轴对称是两个图形的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特征；轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在一个图形上；两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或他们的公共边（点），而轴对称图形的对称轴一定经过图形的内部。联系：都是沿着某条直线对折后能够完全重合；如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴轴对称。课堂作业：1、在图中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由.2、如图所示，下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是()课后作业：1、如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.2、某居民小区稿绿化，要在一块菱形空地上建花坛.现征集设计方案，要求使用设计的图案中包括圆和正方形两种图形（圆和正方形的个数不限），同时又不改变空地原有的轴对称效果，请你画出一个设计方案，用一两句话表示你的设计思路.第2题图3§12.1轴对称（二）一、提问：1．什么是轴对称图形2．什么是轴对称3．轴对称图形与轴对称的区别和联系二、新课：1．引入：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？解题方法：1）可以利用直尺、圆规度量2）可以利用轴对称的定义解题．．．．．．．．．．．．结论：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直这条线段。2．线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。也叫这条的线段的中垂线.注：垂直平分线与线段有两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分3．、．图形轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。（2）对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（3）两个图形成轴对称如果它们的对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。注：包含两层含义：已知一对对应点就能做出它们的对称轴，已知一点和对称轴就能做出该点关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．于对称轴的对称．．．．．．．点。．．4、线段的垂直平分线的性质探究：（借助几何画板度量线段的长度，学生可以用直尺，最后用判定两个三角形全等的方法进行证明，得到线段的垂直平分线的性质定理。）性质定理：线段垂直平分线上的点与这条直线的两个端点距离相等.几何语言：∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在垂直平分线上∴PA=PB反过来，若PA=PB，那么点P是否在垂直平分线上？看课本33页的探究。（通过做辅助线，再利用全等三角形的判定方法证明）定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.几何语言：∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上归纳：在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以点成与两点A、B的距离相等的所有点的集合。C'B'A'PMNCBA4例1、如图所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长.例2、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线上，DE交AC于F.求证：E在AF的垂直平分线上课堂作业：一、选择题1.三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形（）A.三条中线的交点B.三条中垂线的交点C.三条高的交点D.三条角平分线的交点2.点A、B关于直线a对称，P是直线a上的任意一点，下列说法不正确的是（）A.直线AB与直线a垂直B.直线a是点A和点B的对称轴C.线段PA与线段PB相等D.若PA=PB，则点P是线段AB的中点3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是()[来源:学#科#网Z#X#X#K](A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形二、填空题4.如图所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA+CB=4cm，那么△BCD的周长等于__________cm5.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为____________.FEDCBA第4题图ABDCE第5题图5课后作业：1如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？2、如下图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？3、如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等4、如图所示，下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）第3题图6§12.2.1作轴对称图形一、提问：1．观察下列各图，你能说出这些图案有什么特征吗？2．自己动手在纸上画一个三角形，然后将纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到什么？问题：1.上图中的两个三角形有什么关系？2．在描图过程中，点A与点A’重合，点B与点B’重合，设折痕所在的直线为l，连接点B与点B’的线段与直线l有什么关系？点A与点A’呢？3．线段AC与线段A’C’有什么关系？BC与B’C’呢？二、新课：1．归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。新图形上的每一点，都是原图形上某一点关于直线l得对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。2．轴对称变换的定义：象上面这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.例1、两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形.如图，已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画的三角形可与原来的三角形有重叠的部分）结论：已知一个三角形，是与直全等的三角形构成轴对称图形，其关键在于确定对称轴，由于有无数条对称轴，所以所作的轴对称图形有无数种情况.思考：如果有一个图形和一条直线，如何做出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？C'B'A'CBA7沿虚线剪开右下方折右折上折DCBA例2、如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形。例3、把下列图形补充成以MN为轴的轴对称图形例4、如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,则展开后所得的图形是（）.例5、如图1所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图1例6、如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.课堂作业：1．下列说法正确的是（）A．任何一个图形都有对称轴;B．两个全等三角形一定关于某直线对称;C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B关于直线l对称.2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）A．①③④B．③④C．①②D．①②③④3．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，这个图形与原图形的_________、___________完全一样．4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．①12×231=132×21;②12×462=___________;③18×891=__________;④24×231=___________.lCBADCBA8课后作业：1．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．EDCABF2．如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）[来源:学*科*网Z*X*X*K]aAB3．如图，仿照例子利用“两个圆、两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．例:一辆小车4、如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．草地河流营地P9§12.2.2用坐标表示轴对称一、复习提问：1．观察：（西直门（-3.5，4））思考：已知点A(2,-3)B(-1,2)C(-6,-5)D(4,0),在平面直角坐标系中画出这些点及它们关于x轴和y轴的对称点,看看每对对称点的坐标有怎样的规律?二、新课讲解：1．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，—y）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（—x，y）说明：关于坐标轴对称的点的坐标仅只有符号不同，其绝对值分别相同；根据对称点的特征可知，在直角坐标系中作出一个几何图形关于坐标轴对称的图形只需作出某些点的对称点即可.例1、如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别作出四边形关于x轴、y轴对称的图形.分析：要作出四边形关于y轴对称的图形，只需分别作出A、B、C、D关于y轴的对称点即可.同理可作出关于x轴的对称图形.结论：做一个