76高一数学必修五基本不等式

2abab3.4基本不等式:基本不等式的几何背景EFGHCADBba22abABCDOab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222abab如何证明?会得到什么？代替和用bababa,0,0基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。0,02baabba基本不等式的几何解释：半径不小于半弦ABEDCab深入探究揭示本质剖析公式应用深入探究揭示本质abba2算术平均数几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式可以叙述为:注意：（1）不等式使用的条件不同；（2）当且仅当a=b时取等号；均值不等式例1、(1)当x0时，，当且仅当x=时取等号。21xx1两个正数积为定值P，和有最小值。abba2利用00yx，解：62yxyx时取等号。当且仅当3yx.,9002yxyxyxyx此时，的最小值是则且，若63例题讲解P2.4,4424y)1(minyxxxx所以因为判断以下命题是否正确变式：;8,2,8,8,)2(min22yxxxxxyRx时当中则设.6,692所以函数的最小值是则若xxy,x03sin9sin不一定是正数和错。因为xx1xxsin9sin错。因为不是定值错。因为xx82一正二定三相等的最大值。求满足、若正数例xyyxyx,18,20,0yx解法一：1822xyxyyx即81xy时取等号。当且仅当9yx你还有其他的解法吗？两个正数的和为定值，积有最大值。abba2利用的最大值。求满足、若正数例xyyxyx,18,20,0yx解法二：时取等号。当且仅当9yx8122yxxy利用二次函数求某一区间的最值令xy=z,则Z=-x2+18x，解法三分析22abab公式变形：的最大值。求满足若正数xyyxyx,182,0,0yx解：812222yxxy281xy时取等号。即当且仅当9,292yxyx、变式1.____lglg,20,2最大值是的则满足、正数yxyxyx211、已知则xy的最大值是，此时x=,y=。)0,0(232yxyx61231基础练习最值定理：若x、y皆为正数，则（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.214S2P一“正”二“定”三“相等”和定积最大，积定和最小注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定11x构造积为定值解：∵x＞1∴x－1＞0∴x＋＝（x－1）＋＋1)1(1x11x311112xx已知x＞1，求x＋的最小值以及取得最小值时x的值。当且仅当x－1＝时取“＝”号。于是x＝2或x＝0（舍去）11x例凑项法即x=61时ymax=121∵0＜x＜31，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=313x（1-3x）2)2313(31xx121当且仅当3x=1-3x解：构造和为定值的最大值。求函数已知xxyx31,310例凑系数小结评价你会了吗？1、本节主要学习了基本不等式的证明与初步应用。巅峰回眸豁然开朗2、注意公式的正用、逆用、变形使用。3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。（1）一正：各项均为正数。（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误。小结：运用时要注意下面三条：)0,0(2baabba1、求函数的最小值.)3(31xxxy【基础训练3】2、求函数f(x)=x2(4-x2)(0x2)的最大值是多少？例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短最短的篱笆是40m.结论1.两个正数积为定值，则和有最小值2xyxyQ2100xyQ2()40xyQ例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym2=18/2=9得xy≤81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2.两个正数和为定值，则积有最大值2yxxy例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则x+2y=36矩形菜园的面积为S=xym2当且仅当x=2y,即x=18，y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是,162m2222162,162xyxyxySxy由得1yxx0x0x①0x2x④②③,22,,22,,25一正、二定、三等二不定,需变形一正号不,需变三等单调不,需22222ababab222002(,)(,)abababRababab两个不等式：得：222abab2()2abab(,)abR222,1122(,=abababababRab，当且仅当时取“”）几种利用基本不等式求最值的技巧:2.凑系数1.凑项3.分离4.“1”的妙用小结：练习.0,0,8,_______;ababab则的最值为1已知.0,0,28,_______;ababab则的最值为2已知.1,(1)_______;aaa则的最值为3已知01.,(12)_______;2aaa则的最值为4已知01.,(13)_______;3aaa则2的最值为5已知0.0,0,9,_______;ababab则的最值为6已知22.9,_______;abab则的最值为7已知.0,0,9,2_______;ababab则的最值为9已知22.9,2_______;abab则的最值为8已知8103.,_______;xyxx已知则函数的最值为大16大8大14大18大16小6小18小182小62小173练习22811._______;yxx函数的最值为81211.,_______;xyxx已知则函数的最值为228134._______;yxx函数的最值为24140.,_______;xxyx若则函数的最值为21501.,_______;xxyx若则函数的最值为2231611.,_______;xxxyx若则函数的最值为2118136.,_______;xxyxx若则函数的最值为2331711.,_______;xxxyx若则函数的最值为小42小421小2小4大12小22小3大15190,0,1,.xyxyxy19.已知且求的最小值110,0,21,.xyxyxy20.已知且求的最小值