现代数字信号处理课后习题解答

1习题二1、求证：,()(,)xijxijxixjRttCttmm。证明：(,)(,)(,,,)xijijijijijijRttExxxxpxxttdxdx(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)ijijjiijijjiijijxijixjxixjxijijijijixjxxxijijijxijxxxxxxxijxxCttExmxmxmxmpxxttdxdxxxxmxmmmpxxttdxdxRttmmmmmmRttmm2、令()xn和()yn不是相关的随机信号，试证：若()()()wnxnyn，则wxymmm和222wxy。证明：(1)[()][()()][()][()]xymEnExnynExnEynmm(2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyEnmExnynmmExnmynmExnmEynmExnmynmmmmmmmmm即222xy3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：①当0时，2(0),(0)xxxxRDC；②当时,2(),()0xxxRmC。证明：（1）1212()[()()]()()(,,)xRExtxtxtxtpxxdxdx22(0)()(,)[]xRxtpxdxExDx2C()()xxxRm2222C(0)(0)xxxxxRmDxm（2）2()lim()lim[]()()xxijijxRRExxExExm2222()lim[()]lim()0xxxxxxxCRmRmmm4、设随机信号00()cossinxtAtBt，0为正常数，A、B为相互独立的随机变量，且()()0EAEB,2()()DADB.试讨论()xt的平稳性。解：（1）均值为0000[()][cossin][cos][sin]0xmExtEAtBtEAtEBt（2）自相关函数为0000200002000020000(,)[(),()][(cossin)(cos()sin())][coscos()cossin()sincos()sinsin()][coscos()][cossin()][sixRttExtxtEAtBtAtBtEAttABttABttBttEAttEABttEAB20000ncos()][sinsin()]ttEBttA、B相互独立0EABEAEB故：20(,)cosxRtt与起始时间无关（3）2(0)xDxR可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。5、设随机信号2()xtAtBt，A、B是两个相互独立的随机变量，且()4,()7,()0.1,()2EAEBDADB。求()xt的均值、方差、相关函数和协方差函数。解：（1）3222()[()][][][]47xmtExtEAtBtEAtEBttt（2）2222224322243234[()][()][2][][]2[]0.1562DxExtEAtBtEAtBtABtEAtEBtEABtttt2223422240.1562(47)15.947xxDxmttttttt（3）222222222222(,)[(),()][()(()())][()()()()]0.1()2()28()28()xRttExtxtEAtBtAtBtEAttBttABttABtttttttttt(,)(,)()()xxxxCttRttmtmt22()[()][()()]4()7()xmtExtEAtBttt22222222(,)0.1()2()28()28()(47)[4()7()]15.9()47()xCtttttttttttttttttt6、若两个随机信号()xt，()yt分别为()()cosxtAtt，()()sinytBtt，其中()At,()Bt是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明()()()ztxtyt是广义平稳的。证明：E[z(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=E[A(t)]cost+E[B(t)]sint=0zABR(t,t+)=E[z(t)z(t+)]=E{[A(t)cost+B(t)sint][A(t+)cos(t+)+B(t+)sin(t+)]}=E[costcos(t+)A(t)A(t+)+sintsin(t+)B(t)B(t+)]=costcos(t+)R()+sintsin(t+)R()=Acos()RzAD(z)=R(0)=R(0)=D(A)均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的7、设随机信号0()cos()xtAt，式中A、为统计独立的随机变量，在[0，2]上均匀分布。试讨论()xt的遍历性。4解：（1）首先讨论()xt的平稳性1,02()20,p其它()()pxpxxdxd0200200()[()]()()cos()()1cos()2sin()20xmtExtxtpxdxxAtpdxAtdAt0200()[()]()()cos()()1cos()2[]00xmtExtxtpxdxAtpdAtdEA0022000200(,)[(),()]cos()cos(())()11[cos((2)2)cos]222cos4cos2xRttExtxtxAtAtpdxEAtdEADA与t无关(0)2xDADxR故()xt是平稳随机信号（2）遍历性501lim()21limcos()0()2TTxTTTxTTmxtdtTAtdtmtT0020001()lim()()21lim[cos()cos(())]21lim[cos(22)cos]22TTxTTTTTTTTRxtxtdtTAtAtdtTAtdtT20cos2()xAR故()xt不具有广义遍历性8、随机序列0()cos()xnn，在[0，2]上均匀分布，()xn是否是广义平稳的？解：由已知得1,02()20,p其它①02002000()cos()()1cos()21[coscossinsin]20xmnExnnpdndnnd○2002000020000(,)[(),()]cos()cos()()11[cos()cos()]221cos()41cos()21cos2xRmnExmxnxmnpdxmnmndmndmn6○31(0)2xDxR均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳9、若正态随机信号()xt的相关函数为：①12()xRbe；②sin()xRb试分别写出随机变量()xt，(1)xt，(2)xt的协方差矩阵。解：由已知得22()()()()()()xxxxxxxxCRmCRRmR当12()xRbe时，()()0()xxxCRR11121122112(0)(1)(2)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(2)(1)(0)111XXXXXXXXXXXXXXXXXXCCCRRRCCCCbRRRCCCRRReeeeee②当sin()xRb时，()()0()xxxCRR2(0)(1)(2)100(1)(0)(1)010(2)(1)(0)001XXXXXXXXXRRRCRRRbRRR10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数？①26233；②2(1)e；③24()1；④4261j；⑤221(1)；⑥212w解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足：72()()()()()(),()()()()()0()xxxxxxxxSSaSSbSSSdSc则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足（d）；②不满足（a）；③(0)(0)0XS不满足（c）；④不满足（b）；⑥不满足（a）。11、设()xt，()yt是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为216()16X，22()16Y，新的随机信号()()()ztxtyt。求：①()zt的功率谱；②()xt和()yt的互谱密度。解：由已知得0xymm，()xt，()yt独立且平稳()zt平稳()(),()(()())(()()()()()()()()()()()()zxyREztztExtytxtytExtxtytytxtytytxtRR()()()()()()1jZZjjxyxySRedRedRedSS()[(),()][()][()]0()0xyxyRExtytExtEytS12、已知平稳高斯信号()xt的自相关函数为()4xRe。求()xt的一阶概率密度函数()px及二阶概率密度函数12(,)pxx，其中1(0)xx，2(1)xx。解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得xxE[x(t)]=R()=0,D[x(t)]=R(0)=4则一阶概率密度函数222()11()exp{}exp{}82222xxmxpx对于二阶概率密度函数11211(,)exp{()()}22TxxxxpxxxmCxmC其中xC为x的协方差矩阵，xm为均值811112x12122(0)(1)E[x(t)x(t)]E[x(t)x(t)]1C==4(1)(0)E[x(t)x(t)]E[x(t)x(t)]1xxxxRReRRe1-1x2111C4(1)1eee-2x|C|=4(1-e)112x2211212-2-211p(x,x)=exp()()22C11exp(2)8(1-e)4(1-e)TxxxxmCxmxxexx13、令()cn表示白噪声序列，()sn表示一个与()cn不相关的序列，()(