现代数学物理方法二

第二章仿射空间与伪欧氏空间中的张量2-1引言---改变空间性质的必要性2-2仿射空间中的张量2-3伪欧氏空间中的张量2-4复欧氏空间2-1引言---改变空间性质的必要性（1）•伽利略变换–t=0时,重合，S系：S系：–时空变换:–速度变换–加速度变换–牛顿定律不变vS'SO'O1x3x1x3'x2x2x112233,,,xxvtxxxxtt,'OO11dxdxvdtdt2222iidxdxdtdt123(,,)Mxxx123(,,)Mxxx22iidxFmdt2-1引言---改变空间性质的必要性（2）•伽利略变换的局限性–麦克斯威方程组含有光速：不同系，形式不同–形式相同光速不变–从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换2-2仿射空间中的张量1.仿射空间的定义2.仿射空间中的坐标系及其变换3.逆变张量与协变张量4.张量的运算5.由仿射空间到欧氏空间2-2-1仿射空间的定义（1）•仿射空间–欧氏空间去掉矢量点积•欧氏空间中与矢量点积相关的性质将消失–两矢量的正交性–矢量的长度–坐标变换的正交性保持矢量点积不变的性质0xyxx2-2-1仿射空间的定义（2）•欧氏空间中与矢量点积无关的性质将保留–矢量的加法–数与矢量的乘法()()xyyxxyzxyz()()()()xxxxyxyxx2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（1）•线性相关–如果能找到一组不全为零的数使得反之则线性无关•n维仿射空间–可以找到n个线性无关的矢量，而n+1个矢量都是线性相关的。12,,,mxxx1,2,,maaa11220mmaxaxax2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（2）•坐标基矢–n维仿射空间中任意选n个线性无关的矢量•任意矢量的坐标基矢展开（1）12,,,neeex12121nniniixxexexexe2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（3）•任意矢量的坐标基矢展开（2）证明•的逆变分量x11220,0nnaxaeaeaean维空间1212nnaaaxeeeaaannaxa1,2,,ixin（）x2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（4）•新老坐标基矢的变换公式(正变换)1212(,,,)(,,,)nneeeeee12111212121212nnnnnneAeAeAeeAeAeAeeAeAeAennnn1(1,2,,)niiiiieAein´´´变换矩阵行列•矩阵可逆证明2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（5）iiA´12(,,,)neee12(,,,)neeen个独立的变量n个线性齐次函数线性无关线性代数12111122221220nnnnnAAAAAAAAA•变换矩阵与逆矩阵的关系–的逆矩阵•新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（1）2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（6）iiA´1()iiA行列1111()()nijjiiiinijjiiiiAAAA1jiijij011()(1,2,,)niiiiieAein2-2-2仿射空间中的坐标系及其变换（7）•新老坐标基矢的变换公式(逆变换)（2）证明1niiiiieAe1,1111()()nnnllililiiiiliiiliAAeAeee´´同乘，并对i’求和11()nijjiiiiAA1()iiA2-2-3逆变张量与协变张量（1）•矢量分量的变换公式(正变换)（1）1niiiiieAe1niiixxe1niiixxe11()('1,2,,)niiiiixAxin按变换iixx1()iiA2-2-3逆变张量与协变张量（2）•矢量分量的变换公式(正变换)（2）证明11()('1,2,,)niiiiixAxin111,()nnniiiiiiiiiiiixxeeexA11()niiiiieAe2-2-3逆变张量与协变张量（3）•一阶逆变张量•矢量分量的变换公式(逆变换)(1)111,()('1,2,,)nniiiiiiiiiiixeAexAxin1niiiiixAx2-2-3逆变张量与协变张量（4)•矢量分量的变换公式(逆变换)(2)•证明11()niilllxAx1niiiiixAx1'1'111()nnnniiiililiiilliillAxAAxxx同乘，并对i’求和11()nijjiiiiAAiiA2-2-3逆变张量与协变张量（5)•一阶张量的例子(1)坐标系坐标变换证明11niiiax12(,,,)neee1niiiiieAe11niiiax1niiiiiaAa2-2-3逆变张量与协变张量（6)•一阶张量的例子(2)–证明11niiiax1niiiiixAx111nnniiiiiiiiiiiiaAxAax11niiixa'1niiiiiaAa2-2-3逆变张量与协变张量（7)•一阶协变张量'11,('1,2,,)nniiiiiiiiiiiaeAeaAain在仿射空间中的张量有协变和逆变两种，这是和欧氏空间不同的地方。产生这一差别的原因在于仿射空间的变换矩阵不是正交矩阵。1AA11(,,,1,,)iijjn2-2-3逆变张量与协变张量（8)•阶协变，阶逆变的张量(1)坐标系,一组数坐标变换12(,,,)neee1niiiiieAe12121212jjjjjjiiiiiiaa121211112121121211()()jjjjjjjiijjjiiiiiiiiiiijjjaAAAAa1212jjjiiia2-2-3逆变张量与协变张量（9)•阶协变，阶逆变的张量(2)–下标协变，上标逆变–是仿射空间张量，不是仿射空间张量jiij2-2-4张量的运算（1）•张量的运算–运算不变(张量张量)–加法,乘法,缩并和置换•张量的加法(1)–定义–运算不变121212121212jjjjjjjjjiiiiiiiiicab121212121212jjjjjjjjjiiiiiiiiicab2-2-4张量的运算(2)•张量的加法(2)–运算不变(两个同阶张量一个同阶张量)1212121212121212111121211212111112121111()()()()()jjjjjjjjjiiiiiiiiijjjjjjjiijjjiiiiiiiiiiijjjjiijjjiiiiiijjjcabAAAAabAAAAc1212jjjii运算不变张量定义2-2-4张量的运算(3)•张量的乘法(1)–定义–运算不变121212121212mnmmmmnjjjjjjjjjiiiiiiiiicab121212121212mnmmmmnjjjjjjjjjiiiiiiiiicab2-2-4张量的运算(4)•张量的乘法(2)–运算不变(两个张量一个张量)121212121212111111111111111,11()()()()mnmmmmnmmmmnmmnmmnjjjjjjjjjiiiiiiiiiijjjijjjiiiiiijiiijjiijjiicabAAAAaAAAAb11111111112111121111111,()()()()mmnmnmmmnmnmnmnmnmnjjijjjjjijijjiiiiiijjjjijijjiiiiiijiAAAAabAAAAc2-2-4张量的运算(5)•张量的缩并(1)–定义只能将上指标和下指标缩并。–运算不变12112112113131321njjjjjjliljjjjiiiiiiiiilaca12112113131njjjjjjiiiiiilllca2-2-4张量的运算(6)–运算不变(张量一个张量)1211211313121111231121211111121212212111,1,11()()()()njjjjjjiiiiiilnijjjijjiiiiiiliiijjjijlliijjjlljijiiiiiiijjjcaAAAAaAAAAAa12311211111131131231121111113131312111,11,()()()()jjjiiijjjjijjjiiiiiiiijjjiijjjjijjjiiiiiiiiijjjjjAAAAaAAAAAc2-2-4张量的运算(7)•张量指标的置换–定义–运算不变–运算不变(张量张量)121212121221jjjjjjjjjiiiiiiiiiaba12122112jjjijjiiijiiba2-2-5由仿射空间到欧氏空间（1）•点积–仿射空间,没有点积没有度量的空间–仿射空间,点积有度量的空间•欧氏空间（有度量的空间）–仿射空间,点积–坐标变换保持矢量的点积的公式不变11nniiijijxygxy01ijijgij,,2-2-5由仿射空间到欧氏空间（2）•正交变换–保持矢量的点积的公式不变•度规张量–正交变换下，是一个二阶张量•降指标运算•协变张量=逆变张量1()iiiiAAijg1njjiijjxxgx1njiiijjxgxx2-3伪欧氏空间中的张量1.伪欧氏空间的建立2.伪欧氏空间的坐标基矢3.伪欧氏空间中的张量4.伪欧氏空间中的坐标变换2-3-1伪欧氏空间的建立(1)–从数学的角度寻找满足光速不变的时空变换•光速不变四维空间,时空间隔(矢量长度)(1)–系相对系以速度v运动–物理过程:某一时刻,某一点(A)发光讯号,过一段时间传播到点(B)–K系:时刻从位置发出光讯号，在时刻传播到位置–K’系:时刻从位置发出光讯号，在时刻传播到位置123(,,,)Kxxxt123(,,,)Kxxxt),,(321AAAxxx),,(321BBBxxxAtBtAt123(,,)AAAxxxBt123(,,)BBBxxx11222233222()()()()(1)BABABABAxxxxxxttc''''''1122223322''2()