解三角形完结资料

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理、余弦定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，R是△ABC的外接圆半径．(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(2)正弦定理的变式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.③a:b:c＝sinA:sinB:sinC.(3)余弦定理①a2＝b2＋c2－2bc·cosA，②b2＝c2＋a2－2ca·cosB，③c2＝a2＋b2－2ab·cosC.(4)余弦定理的变式cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab.2．解斜三角形的类型(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；(3)已知三边，求三个角；(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解1．在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则b的值为()A．42B．43C．46D.323解析：由已知得A＝45°，则b＝asinBsinA＝8×3222＝46.故选C.答案：C2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.2解析：由正弦定理，得bsinB＝csinC，∴sinC＝c·sinBb＝2sin120°6＝12.∵cb，∴∠C为锐角．∴C＝30°.∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝2.答案：D3．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高为()A.322B.323C.32D．33解析：由余弦定理可得：cosA＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝42＋32－(13)22×3×4＝12.∴sinA＝32，则AC边上的高h＝AB·sinA＝3×32＝323，故选B项．答案：B4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：由(3b－c)cosA＝acosC，得(3b－c)·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab，即b2＋c2－a22bc＝33，由余弦定理，得cosA＝33.答案：335．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A＝60°，b＝1，三角形ABC的面积为3，则a的值为________．解析：由面积公式S＝12bc·sinA，即12×1·c·sin60°＝3，得c＝4，再由余弦定理得a＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×4×1×12＝13.答案：13热点之一利用正、余弦定理解三角形1．已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断．2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．3．三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[例1]在△ABC中，(1)若b＝2，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.[思路探究](1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解．(2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解．[课堂记录](1)解法一：由正弦定理得2sin45°＝1sinC，所以sinC＝12.因为cb，所以CB，故C一定是锐角，所以C＝30°，所以A＝105°，所以1sin30°＝asin105°，所以a＝2sin105°＝6＋22.解法二：根据b2＝a2＋c2－2accosB得2＝a2＋1－2a，解得a＝6＋22，解角C方法同上．(2)因为a2＝b2＋c2－2bccosA，所以49＝25＋c2－10ccos60°，解得c＝8.即时训练在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.解：由已知得acb，∴A为最大角．由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°A180°，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝32.方法1：由正弦定理得asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝5×327＝5314，因此最大角A为120°，sinC＝5314.方法2：cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C为三角形的内角，∴C为锐角．sinC＝1－cos2C＝1－(1114)2＝5314.所以最大角为120°，sinC＝5314.热点之二利用正、余弦定理判断三角形形状依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[例2]在△ABC中，已知acosA＝bcosB，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形[课堂记录]解法一：由acosA＝bcosB得cosAcosB＝ba.由正弦定理得ba＝sinBsinA，所以cosAcosB＝sinBsinA，即sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B.因为角A、B为三角形的内角，所以2A＝2B，或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝π2，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以选C.解法二：将cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac代入已知条件，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac.去分母，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)．整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＝b2或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选C.即时训练已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．解法一：原等式变形为cosA＋cosB＝sinA＋sinBsinC，由正、余弦定理代入条件等式得b2＋c2－a22bc＋a2＋c2－b22ac＝a＋bc，去分母、化简得a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．解法二：原等式变形为sinC·cosA＋sinC·cosB＝sinA＋sinB，12[sin(C＋A)＋sin(C－A)]＋12[sin(C＋B)＋sin(C－B)]＝sinA＋sinB，又A＋B＋C＝π，故sin(C－A)＋sin(C－B)－sinA－sinB＝0,2cosC2sinC－2A2＋2cosC2sinC－2B2＝0，得cosC2sin(C－A－B)cos(B－A)＝0，而cosC2≠0，cos(B－A)≠0，得sin(C－A－B)＝0，C－A－B＝0，从而A＋B＝π2，△ABC是直角三角形．热点之三三角形面积公式的应用1．三角形面积公式的选取取决于三角形中的哪个角可求，或三角形的哪个角的正弦值可求．2．在解决三角形问题中，面积公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．[例3]已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．(1)求tan2A；(2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．[思路探究](1)由cosA→求sinA→求tanA→求tan2A(2)由已知求得sinB和a→代入S＝12acsinB可得[课堂记录](1)∵cosA＝63，A∈(0，π)，∴sinA＝33，∴tanA＝22，∴tan2A＝2tanA1－tan2A＝22.(2)由sin(π2＋B)＝223，得cosB＝223.又∵B∈(0，π)，∴sinB＝13，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝63.由正弦定理得a＝c·sinAsinC＝2.∴△ABC的面积S＝12acsinB＝223.即时训练在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入(2a－c)cosB＝bcosC，整理，得2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB，即2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA.又∵sinA0，∴2cosB＝1，由B∈(0，π)，得B＝π3.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB.将b＝7，a＋c＝4，B＝π3代入整理，得ac＝3.∴△ABC的面积为S＝12acsinB＝32sin60°＝334.热点之四正、余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理往往和同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等相联系，成为高考所考查的重要内容．[例4]在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的分别为a、b、c，且cos2A＝35，sinB＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a、b、c的值．[思路探究]本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力．[课堂记录](1)∵A、B为锐角，sinB＝1010，∴cosB＝1－sin2B＝31010.又∵cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sinA＝55，cosA＝1－sin2A＝255.∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.∵0A＋Bπ，∴A＋B＝π4，(2)由(1)知C＝3π4，∴sinC＝22.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝5.[思维拓展](1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．即时训练在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→·AC→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解：(1)因为cosA2＝255，所以cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.又由AB→·AC→＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.因此S△ABC＝12bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5.又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝25.[例5](2010·安徽高考)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB→·AC→＝12，a＝27，求b，c(其中bc)．[解](1)因为sin2A＝(32cosB＋12sinB)(32cosB－12sinB)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sinA＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.(2)由AB→·AC→＝12，可得cbcosA＝12.①由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②由余弦定理知