3[1].1.1方程的根与函数的零点(公开课) (1)

3.1.1方程的根与函数的零点xyx1x20一、兴趣导入，引入新知023)1(x062ln)3(xx32x23xy3,121xx322xxy？62lnxxy032)2(2xx判断下列方程是否有实数根？如果有，请求出方程的根一元二次方程)0(02acbxax的根与二次函数)0(2acbxaxy的图像有什么关系？思考：方程X2-2x+1=0X2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根(-1,0)、(3,0)(1,0)无交点X2-2x-3=0xy0－132112－1－2－3－4..........xy0－132112543.....yx0－12112y=x2-2x+3函数的图象与x轴的交点问题1填表，观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系.结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.△＞0△=0△＜0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2问题2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？结论：1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.1.函数零点的概念：零点是一个点吗?注意：零点指的是一个实数；二、探索新知，得出概念方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标零点的求法代数法图像法2.等价关系求下列函数的零点:1log)(342)()2(34)(122xxfxfxxxfx31)1(xx，答案2)2(x2)3(x三、深入理解，巩固新知62lnxxy.........x0－2－4－6105y241086121487643219找到图像与x轴这个交点，随之我们就得到方程的根062lnxx四、问题引导，继续探究（零点存在性）观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象：在区间[-2,1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“”或“”）．在区间[2，4]上有零点______；f(2)=_______，f(4)=_______，f(2)·f(4)____0（“”或“”）．探究1:在怎样的条件下，函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点？2-2-41O1-2234-3-1-1yx－1－453-351.在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)·f(b)____0（填＜或＞）．2.在区间(b,c)上____(有/无)零点；f(b)·f(c)____0（填＜或＞）．猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。观察函数f(x)的图像0yx有有f(a)·f(b)0探究2:xyOxyObaabcc如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点．即存在c∈（a,b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．3.零点存在性定理只要同时满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。（1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，且f(a)·f(b)0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2）函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)0。（3）f(a)·f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。函数零点存在定理的三个注意点：1函数是连续的。2定理不可逆。3至少存在一个零点。定理理解：判断正误2-2-4-6-8-15-10-5x1gx=x2-2x+1ababab000yxxyyx错错错思考：在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b)上有且只有一个零点函数在下列哪个区间上有零点()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)032024ln403ln3022ln241ffffff62ln)(xxxfC解析:由表可知f(2)0，f(3)0，从而f(2)·f(3)0，∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数y=lnx和y=2x在定义域域(0,+∞)内是增函数，所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，因此它仅有一个零点．用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表：解法五、学以致用，例题巩固：思考：如何说明零点的唯一性？108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-1.30691.09863.38637.79189.945912.079414.1972f(x)=lnx+2x-6-4例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z).5.6094你能给出这个函数是增函数的证明吗？解法2：的根个数的零点个数等于方程函数062ln)(xxxfy的交点个数，如图与数该方程的解个数等于函62lnxyxy有一个零点故函数62ln)(xxxf62lnxx则21-1-21240yx30xx1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1,6]上的零点至少有（）个A.5个B.4个C.3个D.2个C2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：零点存在性定理的应用：巩固练习Ａ.(0,0),(4,0)Ｂ.0,4Ｃ.(–4,0),(0,0),(4,0)Ｄ.–4,0,4的零点是函数)16()(.12xxxf()D4、下列函数在区间（1，2）上有零点的()(A)f(x)=3x2-4x+5(B)f(x)=x³-5x-5(C)f(x)=lnx-3x+6(D)f(x)=ex+3x-6DA.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,3)3、f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)B函数零点与方程根的关系:函数方程零点根数值存在性个数函数方程思想；数形结合思想．求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间．课堂小结一个关系：三种题型：两种思想：思考：由例1可知，方程区间(2,3)内有且只有一个实数根，即函数在区(2,3)上有且只有一个零点，你能否求出零点或把零点所在的范围进一步缩小精呢？这个问题我们下节课再来研究