3[1].2.2(3)直线的一般式方程

直线的一般式方程(一)填空名称已知条件标准方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线(x0,y0),kk,y轴上截距b(x1,y1)(x2,y2)x轴上截距ay轴上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1过点与x轴垂直的直线可表示成，过点与y轴垂直的直线可表示成。）（00,yx）（00,yx0xx0yy【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”在平面直角坐标系中，直线可以分为两类.直线与x轴不垂直（k存在）直线与x轴垂直（k不存在）由点斜式,得：y-y0=k(x-x0)可化为：kx-y-kx0+y0=0由图像,得：x=x0可化为：x+0●y-x0=0对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程两者都是关于x,y的二元一次方程．任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示．xy0Ｐ(x0,y0)●xy0Ｐ(x0,y0)●【问题2】“任意形如Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？”Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）Ｂ≠0时，BCxBAy表示一条不垂直x轴的直线Ｂ＝0时,则A≠0,ACx表示一条垂直x轴的直线关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.就是直线的斜率BA定义：我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.定义由上面讨论可知,(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.注意事项：对于直线方程的一般式，一般做如下约定：(1)x的系数为正；(2)x、y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列；（3）求直线方程的题目，无特别要求时，结果都写成一般式.1.过点A(6,-4),斜率为-43;y+4=-43(x-6)4x+3y-12=0例1根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：3.在x轴,y轴上的截距分别是32,-3;2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);y+2-4+2=x-35-3x+y-1=0x32+y-3=12x-y-3=0例2把直线L的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.解：化成斜截式方程y=x+3因此，斜率为k=,它在y轴上的截距是3.令y=0得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.由以上可知L与x轴,y轴的交点分别为A(-6，0)B(0，3),过A，B做直线,为L的图形.2121举例求直线的一般式方程的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率（2）直线在y轴上的截距b令x=0，解出值，则(3)直线与x轴的截距a令y=0，解出值，则0(,AxByCAB在都不为零时)BAk＝－BCyBCbACxACa2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是A.2y-x-4=0B.2x-y-1=0C.x+y-5=0D.2x+y-7=0双基达标：1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则()(A)A·B0,A·C0(B)A·B0,A·C0(C)A·B0,A·C0(D)A·B0,A·C0cc在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;xy0(1)A=0,B≠0,C≠0;2.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;(2)B=0,A≠0,C≠0;xy02.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;(3)A=0,B≠0,C=0;xy02.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;(4)B=0,A≠0,C=0;xy02.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;(5)C=0，A、B不同时为0;xy0在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：（1）平行于x轴;（2）平行于y轴;（3）与x轴重合;（4）与y轴重合;（5）过原点;（6）与x轴和y轴相交;(6)A≠0，B≠0;xy02.二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响练习设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定m的值(1)l在x轴上的截距为-3(2)l的斜率为1.解:(1)将y=0代入原方程,得32622mmmx以332622mmm解得335mm或(舍去)故当时,在x轴上的截距为-335ml故当时,的斜率为1.34ml(2)直线的方程可化为12621232222mmmxmmmmyl（舍）或解得134,1123222mmmmmmk所以注意:解答本题时验算是必不可少的,即Ax+By+C=0表示直线的条件是:A,B不同时为零课堂练习：1.直线ax+by+c=0，当ab0,bc0时，此直线不通过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合3.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是_____4.求过点（0，3）并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.DD-63x-4y+12=0或3x+4y-12=0两条直线的几种位置关系直线方程位置关系重合平行垂直相交111222::lykxblykxb1111222200::lAxByClAxByC1212kkbb且1212kkbb且121kk12kk1221122100ABABACAC且1221122100ABABACAC且12120AABB12210ABAB直线方程名称已知条件标准方程使用范围ykxb00()yykxx112121yyxxyyxx1xyab0AxByC000(,)Pxy111(,)Pxy222(,)Pxy0(,)a0(,)b斜截式点斜式两点式截距式一般式斜率k和y轴上的截距b斜率k和一点点和点在x轴上的截距a,即点在y轴上的截距b,即点A,B不同时为零不包括过原点的直线以及与坐标轴平行的直线不包括坐标轴以及与坐标轴平行的直线不包括y轴及与y轴平行的直线不包括y轴及平行于y轴的直线