工程数学-复变函数-第12讲

1工程数学第12讲本文件可从网址上下载(单击ppt讲义后选择'工程数学'子目录)2§4相互独立的随机变量3定义设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有P{Xx,Yy}=P{Xx}P{Yy},(4.1)即F(x,y)=FX(x)FY(y),(4.2)则称随机变量X和Y是相互独立的.4设(X,Y)是连续型随机变量,f(x,y),fX(x),fY(y)分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)(4.3)几乎处处成立.注:此处几乎处处成立的含义是:在平面上除去面积为零的集合以外,处处成立.5当(X,Y)是离散型随机变量时,X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于:对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}.(4.4)6例如§1例2中的随机变量X和Y,由于故有f(x,y)=fX(x)fY(y),因而X,Y是相互独立的.,,0,0,e)(,,0,0,e2)(.,0,0,0,e2),(2)2(其它其它其它yxfxxfyxyxfyYxXyx7又如,若X,Y具有联合分布律YX01P{Y=j}11/62/61/221/62/61/2P{X=i}1/32/31则X,Y也是相互独立的.再如§2例1中的随机变量F和D,由于P{D=1,F=0}=1/10P{D=1}P{F=0}.因而F和D不是相互独立的.8二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为其边缘概率密度fX(x),fY(y)的乘积为.)())((2)()1(21exp1π21),(2222212121212221yyxxyxf.)()(21expπ21)()(2222212121yxyfxfYX易证X和Y独立的充要条件是=0.9例一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,设他们到达的时间相互独立,求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间,由假设X和Y的概率密度分别为其它其它,0,97,2/1)(,0,128,4/1)(yyfxxfYX10因为X,Y相互独立,故(X,Y)的概率密度为.,0,97,128,8/1)()(),(其它yxyfxfyxfYX按题意需要求概率P{|XY|1/12}.画出区域:|xy|1/12,以及长方形[8x12;7y9],它们的公共部分是四边形BCC'B',记为G.显然仅当(X,Y)取值于G内,他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时.因此,所求的概率为11y=xyx12yx1278910111289BB'CC'AG12而G的面积=ABC的面积AB'C'的面积).(81dd),(}12/1|{|的面积GyxyxfYXPG.6112112112132122即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.13以上关于二维随机变量的一些概念,容易推广到n维随机变量的情况.n维随机变量(X1,X2,...,Xn)的分布函数的定义为F(x1,x2,...,xn)=P{X1x1,X2x2,...,Xnxn}其中x1,x2,...,xn为任意实数.14若存在非负函数f(x1,x2,...,xn),使得对于任意实数x1,x2,...,xn有nnxxxnnnttttttfxxxF11ddd),,,(),,,(212121则称f(x1,x2,...,xn)为(X1,X2,...,Xn)的概率密度函数.15设(X1,X2,...,Xn)的分布函数F(x1,x2,...,xn)为已知,则(X1,X2,...,Xn)的k(1kn)维边缘分布函数就随之确定.例如(X1,X2,...,Xn)关于X1,关于(X1,X2)的边缘分布函数分别为).,,,,,(),(),,,,,()(2121,11211xxFxxFxFxFXXX16又若f(x1,x2,...,xn)是(X1,X2,...,Xn)的概率密度,则(X1,X2,...,Xn)关于X1,关于(X1,X2)的边缘概率密度分别为.ddd),,,(),(ddd),,,()(432121,32211211nnXXnnXxxxxxxfxxfxxxxxxfxf17若对于所有的x1,x2,...,xn有),()()(),,,(212121nXXXnxFxFxFxxxFn则称X1,X2,...,Xn是相互独立的.18若对于所有的x1,x2,...,xm;y1,y2,...,yn有F(x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn)=F1(x1,x2,...,xm)F2(y1,y2,...,yn),其中F1,F2,F依次为随机变量(X1,X2,...,Xm),(Y1,Y2,...,Yn)和(X1,X2,...,Xm,Y1,Y2,...,Yn)的分布函数,则称随机变量(X1,X2,...,Xm)和(Y1,Y2,...,Yn)是相互独立的.19定理设(X1,X2,...,Xm)和(Y1,Y2,...,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,...,m)和Yj(j=1,2,...,n)相互独立.又若h,g是连续函数,则h(X1,X2,...,Xm)和g(Y1,Y2,...,Yn)相互独立.20§5两个随机变量的函数的分布21(一)Z=X+Y的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为,dd),(}{)(zyxZyxyxfzZPzF.dd),()(yxyxfzFyzZ这里积分区域G:x+yz是直线x+y=z及其左下方的半平面,化成累次积分,得22xyOx+y=z23于是.d),(d),(,dd,,,d),(zyzyzuyyufxyxfuxzuyzxyuxxyxfyz得时当令作变量变换对积分和固定.dd),(dd),()(zzzuyyyufyuyyufzF24由概率密度的定义,即得Z的概率密度为)1.5(d),()(yyyzfzfZ)2.5(.d),()(xxzxfzfZ由X,Y的对称性,fZ(z)又可写成25特别,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),则(5.1)(5.2)式分别化为)4.5(d)()()()3.5(,d)()()(xxzfxfzfyyfyzfzfYXZYXZxxzfxfyyfyzfffYXYXYXd)()(d)()(这两个公式称为卷积公式,记为fX*fY,即26例1设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1)分布,其概率密度为.,eπ21)(,,eπ21)(2/2/22yyfxxfyYxX求Z=X+Y的概率密度.27解由(5.4)式.eπ21πeπ21deπ21)(,2,deeπ21deeπ21d)()()(444242)(222222222zztzZzxzxzxYXZtezfzxtxxxxzfxfxf得令即Z服从N(0,2)分布.28一般,设X,Y相互独立且X~N(1,12),Y~N(2,22).由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有Z~N(1+2,12+22).这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况.即若X~N(i,i2)(i=1,2,...,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+...+Xn仍然服从正态分布,且有Z~N(1+2+...+n,12+22+...+n2).更一般地,可以证明有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.29例2在一简单电路中,两电阻R1和R2串联联接,设R1,R2相互独立,它们的概率密度均为.,0,100,5010)(其它xxxf求总电阻R=R1+R2的概率密度.30解由(5.4)式,R的概率密度为.d)()()(xxzfxfzfRzxzxxzx10,100,100,100即易知仅当时上述积分的被积函数不等于零.31zxO1020x=10x=zx=z1032因此.,0,2010,d)()(,100,d)()()(10100其它zxxzfzfzxxzfzfzfzzR.,0,2010,)20(150001,100),60600(150001)(332其它zzzzzzzfR将f(z)的表达式代入上式得33例3设X1,X2相互独立且分别服从参数为a1,b;a2,b的G分布(分别记成X1~G(a1,b),X2~G(a2,b),X1,X2的概率密度分别为0,0,,0,0,e)(1)(0,0,,0,0,e)(1)(2/121/11222111baaGbbaaGbbaabaa其它其它xxxfxxxfxXxX试证明X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布.34证由(5.4)式知,当x0时,Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0.而当z0时,Z=X1+X2的概率密度为baaaaaabaaaaaabbaabaaaGaGbaGaGbaGbaGb/1101121/101121/0/)(12/11ed)1()()(e)(d)()()(ede)()(1e)(1d)()()(212121212121121121zzzzzxzxXXZAztttzztxxxzxxxzxxxzfxfzf令35现计算A,由概率密度的性质得到:)0(,e)(/121zAzzfzZbaa.)(1),()/d(e)/(d)(121210/1021212121aaGbaaGbbbbaaaabaaaaAAzzAzzfz即有36于是.0,0,e)(1)(/1212121其它zzzfzZbaaaaaaGb亦即Z=X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布,即X1+X2~G(a1+a2,b).上述结论还能推广到n个相互独立的G分布变量之和的情况.即若X1,X2,...,Xn相互独立,且Xi服从参数为ai,b(i=1,2,...,n)的G分布,则X1+X2+...+Xn服从参数为a1+...+an,b的G分布.37(二)M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有P{Mz}=P{Xz,Yz}.又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=P{Mz}=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}38即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.7)类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=P{Nz}=1P{Nz}=1P{Xz,Yz}=1P(Xz}