BS期权定价模型课件

第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity第一节证券价格的变化过程一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程（MarkovStochasticProcess）来表述。随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity二、布朗运动（一）标准布朗运动设代表一个小的时间间隔长度，代表变量z在时间内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：特征1：和的关系满足（6.1）：（6.1）其中，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值。tztztztzCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity标准布朗运动(2)特征2：对于任何两个不同时间间隔，和的值相互独立。考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：（6.2）当0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：（6.3）tztzTzNii1)0()(dtdzCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity（二）普通布朗运动我们先引入两个概念：漂移率和方差率。标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x的普通布朗运动：（6.4）其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。bdzadtdxCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity三、伊藤过程普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以从公式（6.4）得到伊藤过程（ItoProcess）：(6.5）其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。dztxbdttxadx),(),(Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity四、证券价格的变化过程证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、方差率为的伊藤过程来表示：两边同除以S得：（6.6）22SSdzSdtdSdzdtSdSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity从（6.6）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：可见，也具有正态分布特征(6.7)ttSS),(~ttSSSSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例6.1设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年18%，预期收益率以连续复利计为每年20%，其目前的市价为100元，求一周后该股票价格变化值的概率分布。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity五、伊藤引理若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：（6.8）由于（6.9）根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：(6.10)bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity六、证券价格自然对数变化过程令，由于代入式（6.10）:（6.11）证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2]),)([(~lnln22tTtTSSTCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例6.2设A股票价格的当前值为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格ST的概率分布。例6.3请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格的期望值和标准差等多少？Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity第二节布莱克——舒尔斯期权定价模型一、布莱克——舒尔斯微分方程（一）布莱克——舒尔斯微分方程的推导我们假设证券价格S遵循几何布朗运动：则：（6.12）SdzSdtdSzStSSCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：（6.13）（6.14）为了消除，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。令代表该投资组合的价值，则：(6.15)SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSffCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity在时间后：（6.16）将式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得：（6.17）在没有套利机会的条件下：把式（6.15）和（6.17）代入上式得：tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity布莱克——舒尔斯微分分程化简为：(6.18)这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。rfSfSSfrStf222221Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity（二）风险中性定价原理假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity例子假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。该看涨期权的价值应为0.31元Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity二、布莱克——舒尔斯期权定价公式在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其现值为（6.19）对数股票价格的分布为：（6.20）对式（6.19）求解：（6.21）)]0,[max(XSET)]0,[max()(XSEecTtTr]),)(2([ln~ln2tTtTrSST)()(2)(1dNXedSNctTrCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity其中，我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值。tTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221))(2/()/ln())(2/()/ln(Copyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity其次，是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值,-e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-notingcalloption）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothingoption）空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。)(1dNCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（6.23）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：（6.22）由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。)()(12)(dSNdNXeptTrCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity三、有收益资产的期权定价公式（一）有收益资产欧式期权的定价公式当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。)(tTqSeCopyright©ZhenlongZheng2003,DepartmentofFinance,XiamenUniversity对于欧式期货期权，其定价公式为：（6.23）（6.24）其中：)]()([21)(dXNdFNectTr)]()([12)(dFNdXNeptTrtTdtTtTXFdtTtTXFd12221)(2)/ln()(2)/ln(Copyright©ZhenlongZheng2003,Depar