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第七节不变子空间对于给定的n维线性空间V，AVᆮV，如何才能选到V的一个基，使A关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出：在一切彼此相似的n阶矩阵中，如何选出一个形式尽可能简单的矩阵？上页下页返回上页下页返回定义7设A是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的一个子空间，如果W中的向量在A下的像仍在W中.换句话说，对于子空间W中任一向量ξ，有Aξ∈W，就称子空间W是A的不变子空间，简称A-子空间.这一节介绍一个关于线性变换的重要概念—不变子空间.同时利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系.这样，对前面的结果可以有进一步的了解.上页下页返回例2A的值域与核都是A-子空间.按定义，A的值域AV是V中的向量在A下的像的集合，它当然包含AV中向量的像，所以AV是A的不变子空间.A的核是被A变成零的向量集合，核中向量的像是零，自然在核中，因此核是A-子空间.例1整个空间V和零子空间{0}，对于每个线性变换A来说都是A-子空间.上页下页返回所以Aξ在B下的像是零，即Aξ∈V0.这就证明V0是A-子空间.在B的值域BV中任取一向量Bη，则在B的核V0中任取一向量ξ，则例3若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间.因为A的多项式f(A)是和A可交换的，所以f(A)的值域与核都是A-子空间.这种A-子空间是经常碰到的.B(Aξ)=(BA)ξ=(AB)ξ=A(Bξ)=A0=0.A(Bη)=B(Aη)∈BV.因此BV也是A-子空间.上页下页返回例4任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.Aξ=λ0ξ这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭的.这说明ξ是A的特征向量，而W即是由ξ生成的一维A-子空间.设W是一维A-子空间，ξ是W中任何一个非零向量，它构成W的一个基.按A-子空间的定义，Aξ∈W，它必定是ξ的一个倍数:上页下页返回反过来，设ξ是A属于特征值λ0的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A下的像是原像的λ0倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A-子空间.显然，A的属于特征值λ0的一个特征子空间Vλ0也是A的不变子空间.我们指出，A-子空间的和与交还是A-子空间.(证明留给大家回去作练习).上页下页返回设A是线性空间V的线性变换，W是A-子空间.由于W中向量在A下的像仍在W中，这就使得有可能不必在整个空间V中来考虑A，而只在不变子空间W中考虑A，即把A看成是W的一个线性变换，称为A在不变子空间W上引起的变换.为了区别起见，用符号A|W来表示它；但是在很多情况下，仍然用A来表示而不致引起混淆.必须在概念上弄清楚A与A|W的异同：A是V的线性变换，V中每个向量在变换A下都有确定的像；A|W是不变子空间W上的线性变换，对于W中任一向量ξ，有(A|W)ξ=Aξ但是对于V中不属于W的向量η来说，(A|W)η是没有意义的.例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换0，而在特征子空间Vλ0上引起的变换是数乘变换λ0.上页下页返回结论如果线性空间V的子空间W是由向量组α1,α2,,αs生成的，即W=L(α1,α2,,αs)，则W是A-子空间的＝Aα1,Aα2,,Aαs全属于W.证明(＝)显然.所以ξ=k1α1+k2α2++ksαs.(＝)如果Aα1,Aα2,,Aαs全属于W，由于W中每个向量ξ都可以被α1,α2,,αs线性表示，即有Aξ=k1Aα1+k2Aα2++ksAαs∈W.证毕.上页下页返回下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系.1)设A是n维线性空间V的线性变换，W是V的A-子空间.在空间W中取一组基ε1,ε2,,εk,并且把它扩充成V的一组基ε1,ε2,,εk,εk+1,,εn.(1)上页下页返回那么，A在这组基下的矩阵就具有下列形状2311,,11,11,111,11110000AOAAaaaaaaaaaaaannknnkkkknkkkkknkk(2)并且左上角的k级矩阵A1就是A|W在不变子空间W的基ε1,ε2,,εk下的矩阵.上页下页返回这是因为W是线性空间V的A-子空间，所以像Aε1,Aε2,,Aεk仍在W中.它们可以通过空间W的基ε1,ε2,,εk线性表示从而A在基ε1,ε2,,εn下的矩阵具有形状(2)，A|W在W的基ε1,ε2,,εk下的矩阵是A1.Aε1=a11ε1+a21ε2++ak1εk，Aε2=a12ε1+a22ε2++ak2εk，……………………………，Aεk=a1kε1+a2kε2++akkεk.反之，如果在基(1)下的矩阵是(2)，那么不难证明，由ε1,ε2,,εk生成的子空间W是A-子空间.上页下页返回2)设V分解成若干个A-子空间的直和：在每一个A-子空间Wi中取基)3(),,2,1(,,,21siiinii并把它们合并起来成为V的一组基I.则在这组基下，A的矩阵具有准对角形状)4(21sAAA其中Ai(i=1,2,,s)就是A|Wi在基(3)下的矩阵.V=W1⊕W2⊕⊕Ws.上页下页返回反之，如果线性变换A在基I下的矩阵是准对角形(4)，则由(3)生成的子空间Wi是A-子空间.由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的.下面我们应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按特征值分解成不变子空间的直和.这个证明与1)相仿(留给大家回去作练习).上页下页返回定理12设线性变换A的特征多项式为f(λ)，它可分解成一次因式的乘积srsrrf)()()()(2121则V可分解成不变子空间的直和其中VEAVirii,0)(|V=V1⊕V2⊕…⊕Vs.证明令及Vi=fi(A)V.,)()()()()()()(111111siiirsririrriiff上页下页返回则Vi是fi(A)的值域.由本节例3知道Vi是A-子空间.显然Vi满足下面来证明V=V1⊕V2⊕⊕Vs.为此要证明两点，第二点，向量的这种表示法是唯一的.显然，(f1(λ),f2(λ),,fs(λ))=1，因此有多项式u1(λ),u2(λ),,us(λ)使(A-λiE)riVi=f(A)V={0}.α1+α2++αs=0，αi∈Vi，i=1,2,,s.第一点，要证V中每个向量α都可表成上页下页返回于是其中这就证明了第一点.u1(λ)f1(λ)+u2(λ)f2(λ)++us(λ)fs(λ)=1.u1(A)f1(A)+u2(A)f2(A)++us(A)fs(A)=E.这样对V中每个向量α都有α=u1(A)f1(A)α+u2(A)f2(A)α++us(A)fs(A)α.ui(A)fi(A)α∈fi(A)V=Vi，i=1,2,,s.上页下页返回为证明第二点，设有现在证明任一个βi=0.所以有多项式u(λ),v(λ)使其中βi满足fi(A)βi=0.β1+β2++βs=0.(5)(A-λiE)riβi=0，i=1,2,,s.(6)因为(λ-λj)rj|fi(λ)(j≠i)，所以fi(A)βj=0(j≠i).用fi(A)作用于(5)的两边，即得又(fi(λ),(λ-λi)ri)=1.u(λ)fi(λ)+v(λ)(λ-λi)ri=1.上页下页返回于是现在设所以αi=0，i=1,2,,s.由此可得到第一点中的表示法是唯一的.其中αi∈Vi，当然αi满足βi=u(A)fi(A)βi+v(A)(A-λiE)riβi=0.α1+α2++αs=0.(A-λiE)riαi=0，i=1,2,,s.再设有一向量α属于(A-λiE)ri的核.把α表示成α=α1+α2++αs，αi∈Vi，i=1,2,,s.上页下页返回即α1+α2+…+(αi-α)++αs=0.令βj=αj,j≠i,βi=αi-α，则β1,β2,,βs是满足(5)和(6)的向量，所以β1=β2=…=βi==βs=0，于是Vi={ξ|(A-λiE)riξ=0，ξ∈V}.这就证明了Vi是(A-λiE)ri的核，即α=αi∈Vi.证毕.