动点问题专题

动态问题的解法点动、线动、图形动构成的问题称为动态题．近几年来动点问题一直是中考的热点，主要考查探究运动中一些特殊图形(等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形，梯形)的性质或面积的最大值．解题策略是：把握运动规律，寻找运动中的特殊位置，在“动”中求“静”，在“静”中探索“动”的一般规律.选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是折线段A－D－C上的一动点(点E与A不重合)，点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有()A．2个B．3个C．4个D．5个3C二、填空题填空题：2．如图，∠ACB＝60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是____cm.3ACBO.3.如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B.过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3,0)．(1)求直线AB的函数关系式；(2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；解答题y＝－54x2＋174x＋1(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C的重合的情况)，连接CM、BN.当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由．•1以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点•2.以BC为腰，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点•3.以BC为腰，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点综上满足要求的点P有四个，对应的点E也有四个分析：(1)先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的函数关系式；(2)由于点M、N的横坐标为已知t，利用函数关系式可求出它们的纵坐标，利用数形结合思想可知点M、N到x轴的距离．从而建立函数关系；(3)因为MN∥BC，所以要使四边形BCMN为平行四边形，就必须满足MN＝BC，利用等量关系建立方程，从而解决问题．解析：(1)将x＝0代入y＝－54x2＋174x＋1，得y＝1，∴点A的坐标为(0,1)．将x＝3代入y＝－54x2＋174x＋1，得y＝52，∴点B的坐标为(3，52).设直线AB的函数关系式为y＝kx＋b，分别代入点A、点B的坐标得1＝b3k＋b＝52解得k＝12b＝1∴直线AB的函数关系式为y＝12x＋1.(2)因点P运动的时间为t秒，故点P、M、N的横坐标都为t，将x＝t代入y＝12＋1.得y＝12t＋1∴PM＝12t＋1.将x＝t代入y＝－54x2＋174x＋1.∴PN＝－54t2＋174t＋1.∴s＝MN＝PN－PM＝(－54t2＋174t＋1)－(12t＋1)＝－54t2＋154t即s与t的函数关系式为：s＝－54t2＋154t(0≤t≤3)(3)∵MN∥BC∴若四边形BCMN为平行四边形，则还须MN＝BC.由(1)、(2)知BC＝52，MN＝－54t2＋154t.因而有－54t2＋154t＝52，解得t1＝1，t2＝2.故当t＝1或2时，四边形BCMN为平行四边形.①当t1＝1时，∵OP＝1，PC＝3－1＝2，PM＝12×1＋1＝32，∴MC＝PC2＋PM2＝22＋322＝52＝BC.故平行四边形BCMN是菱形.②当t2＝2时，∵OP＝2，PC＝3－2＝1，PM＝12×2＋1＝2∴MC＝PC2＋PM2＝12＋22＝5≠52＝BC.故平行四边形BCMN不是菱形.点评：动点问题往往会把匀速运动相联系，本题是以抛物线为背景，把点的纵坐标(或横坐标)与点到x轴(或y轴)的距离联系起来．注意数形结合．4.如图,在Rt△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，BC＝4，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．考查图形运动的问题2(3)设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．(1)求等腰梯形DEFG的面积．(2)固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图2)．在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．分析：(1)作AM⊥BC于M，交GF于N.易求出等腰梯形的面积为6；(2)由于在运动过程中，四边形BDG′G都为平行四边形，只要满足BD＝BG＝AB＝2时，它就是菱形；(3)在运动过程中，重叠部分的图形有两种形状．先是等腰梯形．后是等腰直角三角形．因此要进行分类．12解析：(1)作AM⊥BC于M，交GF于N，则AM＝12BC＝22，MN＝2.∵GF是△ABC的中位线．∴GF＝12BC＝22.∴S梯形DEFG＝12×(22＋42)×2＝6.(2)能为菱形．如图2，由BG∥DG′，GG′∥BC∴四边形BDG′G是平行四边形．当BD＝BG＝12AB＝2时，四边形BDG′G为菱形，此时可求得x＝2∴当x＝2秒时，四边形BDG′G为菱形．(3)分两种情况：①当0≤x＜22时，过点G作GM′⊥BC垂足为M′，如图3.∵GM′＝2，∴S▱BDG′G＝2x∴重叠部分的面积为：y＝6－2x∴当0≤x＜22时，y与x的函数关系式为y＝6－2x.②当22≤x≤42时，设FC与DG′交于点P，如图4.则∠PDC＝∠PCD＝45°∴∠CPD＝90°，PC＝PD作PQ⊥DC于Q，则PQ＝DQ＝QC＝12(42－x)∴重叠部分的面积为：y＝12(42－x)×12(42－x)＝14(42－x)2＝14x2－22x＋8综上所述①②可知y与x的函数关系式为：y＝6－2x0≤x＜2214x2－22x＋822≤x≤42.点评：图形运动往往把两图形在运动过程重叠部分的面积相结合，此时要观察重叠部分图形的形状是否会发生改变，若会发生改变．找出运动的位置．再进行分类解决．1．如图a，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值是________．2．如图b，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A(10,0)，C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_________________．10(2,4)或(3,4)或(8,4)3如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，则经过________秒时，PQ有最小值，并且这个最小值为________．651255