河南省2008年―2014年中考数学压轴题图文解析

1河南省中考数学压轴题图文解析2008--2017年例12017年河南省中考第22题/2例22017年河南省中考第23题/4例32016年河南省中考第22题/6例42016年河南省中考第23题/8例52015年河南省中考第22题/10例62015年河南省中考第23题/12例72014年河南省中考第23题/14例82013年河南省中考第22题/16例92012年河南省中考第15题/18例102012年河南省中考第23题/19例112010年河南省中考第22题/21例122010年河南省中考第23题/22例132009年河南省中考第21题/24例142009年河南省中考第23题/25例152008年河南省中考第23题/272例2017年河南省中考第22题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是_______，位置关系是_______；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“17河南22”，拖动点D绕点A旋转，观察左图，可以体验到，△ABD与△ACE保持全等，对应线段的夹角为90°，PM、PN分别为两个三角形的中位线．观察右图，可以体验到，在△AMN中，AM和AN是定值，当点M落在NA的延长线上时，MN取得最大值，此时等腰直角三角形PMN的面积最大．思路点拨1．图形在旋转的过程中，对应线段相等，对应线段所在直线的夹角等于旋转角．2．已知三个中点，不由得要想到三角形的中位线．3．要探求△PMN面积的最大值，首先这个三角形的形状是等腰直角三角形，只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了．图文解析（1）PM＝PN，PM⊥PN．（2）△PMN是等腰直角三角形．说理如下：如图3，△ABD绕着点A逆时针旋转90°与△ACE重合，那么对应边BD＝CE，对应边BD与CE所在直线的夹角等于旋转角，等于90°，即直线BD⊥CE．因为PM、PN分别是△DCE和△CBD的中位线，所以PN＝12BD，PN//BD，PM＝12CE，PM//CE．所以PM＝PN，PM⊥PN．所以△PMN是等腰直角三角形．（3）△PMN面积的最大值为492．考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：如图4，连结AM、AN．在△AMN中，AM＝22，AN＝52，当点M落在NA的延长线上时，MN取得最大值，最大值为72（如图5所示）．如图5，等腰直角三角形PMN的面积的最大值为492．当点M落在线段NA上时，MN取得最小值，最小值为32．此时等腰直角三角形PMN3的面积为92．图3图4图54例2017年河南省中考第23题如图1，直线23yxc与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线243yxbxc经过点A、B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N．①点M在线段OA上运动，若以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M、P、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M、P、N三点为“共谐点”．请直接写出使得M、P、N三点成为“共谐点”的m的值．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“17河南23”，拖动点M在x轴上运动，可以体验到，△BPN可以两次成为直角三角形．观察P、M、N三点的位置关系，可以体验到，每个点都可以成为其它两点的中点．思路点拨1．讨论△BPN与△APM相似，转化为讨论直角三角形BPN．2．分三种情况讨论P、M、N的关系，把位置关系转化为纵坐标间的数量关系．图文解析（1）将点A(3,0)代入23yxc，得c＝2．所以223yx，B(0,2)．设抛物线的交点式为4(3)()3yxxn，代入点B(0,2)，得－4n＝2．解得12n．所以241410(3)()23233yxxxx．（2）①在Rt△APM中，tan∠PAM＝BOAO＝23．因为△BPN与△APM有一组对顶角，如果它们相似，那么△BPN是直角三角形．（i）如图2，当∠BNP＝90°时，BN//x轴，点N与点B关于抛物线的对称轴对称．抛物线的对称轴为直线x＝54，所以点N的横坐标为52．所以M(52,0)．（ii）如图3，当∠NBP＝90°时，作BH⊥MN于H，那么HBHN＝23．由HB＝23HN，得2410(2)233mmm．解得74m．所以M(74,0)．5图2图3②m的值为12，14或－1．考点伸展最后一小题分三种情况讨论：①如果P为NM的中点，那么2NPyy．解方程2410222(2)333mmm，整理，得2m2－7m＋3＝0．解得12m（如图4所示），或m＝3（舍去）．②如果N为PM的中点，那么2PNyy．解方程2241022(2)333mmm，整理，得4m2－11m－3＝0．解得14m（如图5所示），或m＝3（舍去）．③如果M为PN的中点，那么PNyy．解方程224102(2)333mmm，整理，得m2－2m－3＝0．解得m＝－1（如图6所示），或m＝3（舍去）．图4图5图66例2016年河南省中考第22题发现（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_______（用含a、b的式子表示）．应用（2）点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB、AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连结CD、BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．拓展（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM的最大值及此时点P的坐标．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“16河南22”，拖动第1个图中的点A在圆上运动，可以体验到，当点A落在CB的延长线上时，AC最大．拖动第2个图中的点A在圆上运动，可以体验到，当点D落在CB的延长线上时，DC最大，BE也最大．拖动第3个图中的点P在圆上运动，可以体验到，当点N落在BA的延长线上时，NB最大，AM也最大．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，如果两边长是确定的，那么第三边总是小于这两边之和的．当三点共线时，第三条线段的长取得最大值或最小值，最大值为这两边之和，最小值为这两边之差．2．第（2）题△BCD中，两边BC和BD是确定的，线段DC的最大值就是BC与BD的和．3．第（3）题模仿第（2）题，先构造全等三角形．图文解析（1）如图4，当点A位于CB的延长线上时，线段AC取得最大值，最大值为a＋b．（2）①如图5，因为∠CAE＝∠DAB＝60°，所以∠BAE＝∠DAC．又因为由AB＝AD，AE＝AC，得△BAE≌△DAC．所以BE＝DC．②如图6，线段BE长的最大值为4．因为此时点D落在CB的延长线上，DC的最大值为4．7图4图5图6（3）线段AM的最大值为223，此时点P的坐标为(22,2)．考点伸展第（3）题的思路是这样的：如图7，将点P绕着点A逆时针旋转90°得到点N，连结BN．由PA＝PN，∠APM＝∠NPB，PM＝PB，得△APM≌△NPB．所以AM＝NB．如图8，当点N落在BA的延长线上时，NB取得最大值，此时AM也最大．在等腰直角三角形APN中，AP＝2，所以AN＝22，AN边上的高为2．所以AM的最大值为223，点P的坐标为(22,2)．图7图88例2016年河南省中考第23题如图1，直线43yxn交x轴于点A，交y轴于点C(0,4)，抛物线223yxbxc经过点A交y轴于点B(0,－2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连结PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．图1图2备用图动感体验请打开几何画板文件名“16河南23”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，有两个时刻△BDP可以成为等腰直角三角形，有三个时刻点P′可以落在坐标轴上．思路点拨1．等腰直角三角形BDP按照P、D的位置关系存在两种情况．2．第（3）题以∠DBD′为旋转角，寻找或构造与∠DBD′相等的角，灵活运用3∶4∶5进行计算．图文解析（1）将点C(0,4)代入43yxn，得n＝4．所以A(3,0)．将A(3,0)、B(0,－2)两点分别代入223yxbxc，得630,2.bcc解得43b，c＝－2．所以抛物线的解析式为224233yxx．（2）点P的坐标可以表示为224(233mmm,），等腰Rt△BDP存在两种情况：①如图3，点P在点D上方时，224(2)(2)33mmm．解得PD＝72m．②如图4，点P在点D下方时，224(2)(2)33mmm．解得PD＝12m．9图3图4（3）点P的坐标为2511()832，，445(5)3,，或445(5)3,．考点伸展第（3）题的思路是这样的：Rt△AOC的三边比是3∶4∶5．①如图5，点P′落在y轴上．在Rt△BDP中，设BD＝4n，PD＝3n，那么P(4n,3n－2)．将点P(4n,3n－2)代入224233yxx，得2321632233nnn．解得2532n，或n＝0（B、P重合，舍去）．所以点P的坐标为2511()832，．②如图6，当点P′落在x轴上时，过点D′构造Rt△P′ED′和Rt△D′FB．在Rt△BD′F中，设BD′＝5n，BF＝4n，D′F＝3n．在Rt△P′ED′中，P′E＝2＋4n，所以P′D′＝53P′E＝102033n．所以点P到x轴的距离为1020420()23333nn．所以P420(5,)33mn．将点P420(5,)33mn代入224233yxx，得2420502023333nnn．解得55n．所以P445(5)3,（如图6），或445(5)3,（如图7）．图5图6图710例2015年河南省中考第22题如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D、E分别是边BC、AC的中点，联结DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当＝0°时，AEBD＝_________；②当＝180°时，AEBD＝_________；（2）拓展探究试判断当0°≤≤360°时，AEBD的大小有无变化？请仅图2的情形给出证明；（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．图1图2备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南22”，拖动点D绕点C旋转，可以体验到，△EDC与△ABC保持相似，△EAC与△DCB保持相似．观察A、D、E三点的位置关系，可以体验到，点E可以落在AD的延长线上，也可以落在AD上．思路点拨1．△EDC与△ABC的对应边，也是△EAC与△DCB的对应边．2．按照点E与AD的位置关系，分两种情况讨论A、D、E三点共线．图文解析（1）如图3，当＝0°时，如图4，当＝180°时，都有DE//AB．所以AEBD＝ACBC＝52．图3图4（2）当0°≤≤360°时，AEBD＝52没有变化．证明如下：如图5，由△EDC∽△ABC，得ECAC