湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试卷

1湖南省2017年普通高等学校对口招生考试数学试题(附答案)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟.满分120分一、选择题（每小题4分，共40分．每小题只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,2,1A,4,32，B,则BA等于【答案】DA.2B.4,32，C.4,3,1D.4,3,2,12.已知32a，212b，2)21(c,则cba,,的大小关系为【答案】BA．cbaB．bcaC．cabD．abc3.已知,0,21cos，则sin【答案】AA．23B．23C．21D．214.已知两条直线1)2(2xayaxy和互相垂直，则a【答案】DA．2B．1C．0D．15.下列函数中，在区间,0上单调递增的是【答案】CA.xysinB.xy1C.2xyD.xy31log6.已知函数)(xf的定义域为R，则“)(xf为偶函数”是“)1()1(ff”的【答案】CA．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件7.不等式0652xx的解集是【答案】DA．2xxB．3xxC．32xxx或D．32xx8.设ml、是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是【答案】BA．若mml,，则lB．若lml//,，则mC．若ml,//，则lm//D．若//,//ml，则lm//9.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取2个不同的数，使其和为偶数，则不同的取法共有2A.72种B.36种C.32种D.16种【答案】D10．在三棱锥ABCP中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该三棱锥的体积为【答案】AA．61B．31C．21D．1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示：成绩/m1.501.601.651.70人数2242则这些运动员成绩的平均数是__________（m）．【答案】1.6212．若直线06ykx经过圆4)2()122yx（的圆心，则k______．【答案】413．函数xxfcos21的最小值为．【答案】114.若关于x的不等式32bx的解集为03xx，则b．【答案】315.若双曲线)0,0(12222babyax上存在四点A，B，C，D，使四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为．【答案】，2三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22题为选做题．满分60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分10分）已知函数1)1(),1,0(1)5(log2faaxxfa且.（I）求a的值，并写出xf的定义域；（II）当11,4x时，求xf的取值范围．解：（I）依题意，有：11)51(log21af，解得：4a，由505xx得∴4a，xf的定义域为），（5（II）由（1）得：1)5(log24xxf∵41,∴1)5(log24xxf为增函数，3而314116log2)11(,111log2)4(44ff∴当11,4x时，xf的取值范围为3,1．17.（本小题满分10分）某射击运动员射击3次，每次射击击中目标的概率为32，求：（I）3次射击都击中目标的概率；（II）击中次数的分布列．解：（I）278323)3(）（P（II）随机变量的分布列为：18.（本小题满分10分）已知数列na为等差数列，若1231,1aaaa，求：（I）求数列na的通项公式；（II）设nannab)21(，求数列nb的前n项和nS．解：（I）设数列na的首项为1a，公差为d，依题意，有：,1,12111111daadadaa∴ndnaan)1(1∴数列na的通项公式为nan；（II）nannab)21(=nn）（21∴nnnnnnn21221211211212)1(S2）（19.（本小题满分10分）已知向量),1(ma，向量)3,2(b0123P27192942784（I）若ba//，求m的值；（II）若ba，求)3()3aba（的值．解：（1）由ba//得：32m，23m（2）由ba得023m32m），（（3213)3a=），（23）（），（）（5,1233,2)3(ab135213)3()3）（）（（aba20.（本小题满分10分）已知抛物线pxyC2:2的焦点为.0,2F（I）求抛物线C的方程；（II）过点M（1,2）的直线l与C相交于BA,两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．解：（I）∵抛物线pxyC2:2的焦点为0,2F，∴22p，解得4p，故抛物线C的方程为：xy82；（2）设)A11yx，（、)B22yx，（，则依题意有422121yyxx，易知若直线l的斜率不存在，则直线方程为1x，此时4021yy，不合题意，由22212188xyxy得：)(8212221xxyy即2121218yyxxyy∴2488212121yyxxyykkABl直线l的方程为02yx注意：第21题，22题为选做题，请考生选择其中一题作答．21．（本小题满分10分）已知cba,,，分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知abc22，5（I）若90C，且1a，求ABC的面积；（II）若CAsinsin，求Ccos的值解：（I）由90C，且1a，则222cba，又abc220122bb，解得1b2121SabABC（II）由正弦定理caCACcAasinsinsinsin，又CAsinsin，∴ca，又abc22∴bca24122cos2222abbabcbaC由余弦定理得：22．某公司有40万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对乙项目投资的31倍，且对每个项目的投资都不能低于5万元。对项目甲每投资1万元可获得0.2万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.3万元的利润。问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？[解]设投入甲、乙项目分别为x万元，y万元，公司获利为Z万元，则yxz3.02.0由题意得：553140yxyxyx作出可行域如图四边形ABCD所示作直线0l：032yx并平移，由图象得，当直线经过A点时Z能取得最大值，由yxyx3140解得3010yx即A（10,30）所以当（万元）时，11303.0102.0Z30,10maxyx