009-材料力学_压杆稳定

稳定平衡第九章压杆稳定工程中受压杆件在所受压力超过一定限度时，会发生突然失去原有平衡形式而不能正常工作(甚至导致系统破坏)的现象，即产生屈曲失稳。细长压杆在发生失稳时，杆内应力远低于引起强度破坏的极限应力，有时甚至低于材料的比例极限。失稳(屈曲)F≥FcrF＜FcrF＜FcrF≥FcrlδkFF)()(klFlkFFMOOcrFFklFcr记crFFcrFF临界载荷本章讨论的压杆稳定以及在临界载荷作用下的失稳是针对轴载直杆模型而言的。9.1细长压杆的欧拉临界载荷一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷FyxMxyEI)(dd22EIFk2Flxyyx0dd222ykxykxBkxAxycossin)(0)(0)0(lyy0cossin010klBklABA0cossin10klkl0sinkl),2,1,0(nnkl),2,1,0(222nlEInF22lEIFcrlxAkxAxysinsin)(xylxxysin)(lxxy2sin)(F假设受压直杆在微弯状态下维持平衡其中A为最大屈曲挠度，是个无法确定的值，故只能得到失稳曲线的形状。屈曲模态(一阶模态)欧拉公式9.1细长压杆的欧拉临界载荷一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷FlxyyxEIFyEIxMs)(dd1211122crcrFFFFlxylxxysin)(lxxy2sin)(F欧拉公式22lEIFcrOFδFcrsindddd22EIFsyEIFslxxysin)(9.1细长压杆的欧拉临界载荷二、一端固定、一端球铰细长压杆的欧拉临界载荷FyxlFxMxyEIBy)()(dd22EIFk2)()(dd2222xlFFkEIxlFykxyByByFByFlxyyxBA)(cossin)(xlFFkxBkxAxyBy0)(0)0()0(0)0(lyyy00cossin010010FFklBklAFFBkAlFFBAByByBy00cossin1010klklklklkltan7.049.4kl227.0lEIFcr)](cos[sin)(xlkkxklkxAxy0.7l9.1细长压杆的欧拉临界载荷三、其他杆端约束细长压杆的欧拉临界载荷)()(dd22yFxMxyEIEIFk22222ddkykxylFlxyyxBAkxBkxAxycossin)()(0)0()0(0)0(lyyy00cossin0000110klBklABkABA00cossin00110klklk0coskl2kl222lEIFcr)2cos1()cos1()(lxkxxyBA0一端固定、一端自由：9.1细长压杆的欧拉临界载荷FyxlFMxMxyEIByB)()(dd22EIFk2)(~~dd22222xlFkMkykxy)(~~cossin)(xlFMkxBkxAxyFByMBFlxyyxBA0)(0)(0)0(0)0(lylyyy010sincos01cossin100110klkklkklklklFMMFFFBBy~~0~sincos0~cossin0~0~~FklkBklkAMklBklAFkAlFMB0)2sin22cos(2sin2)]cos1(2sin[klklklklkklklklkDet0)2sin22cos(02sinklklklorkl两端固定：9.1细长压杆的欧拉临界载荷)(~~cossin)(xlFMkxBkxAxyFByMBFlxyyxBA0~sincos0~cossin0~0~~FklkBklkAMklBklAFkAlFMB222klnklnkl0)2sin22cos(02sinklklklorkl295.4222tanklklklkl225.0lEIFcrllk5.02)12(cos)(lxBxyBMAF~00~02sinkl02sin22cosklklkll/2两端固定：9.1细长压杆的欧拉临界载荷)()(dd22yFMxMxyEIB22222~ddkMkykxyMkxBkxAxy~cossin)(MB0)()(0)0(0)0(lylyyy000sincos01cossin0001110klkklkklklkEIFk2FMMB~0sincos0~cossin00~klkBklkAMklBklAkAMBklkl0sinFlxyyxAB22lEIFcr)cos1(2)(lxxy2~0BMA一端固定、一端不可转动：l/29.1细长压杆的欧拉临界载荷22lEIFcr四、细长压杆的欧拉临界载荷公式FlABllFlBAll5.0ll7.0FlBAllFlFlBAll2长度系数：相当长度：l欧拉临界载荷公式适用于线弹性范围，即细长杆。9.2压杆的临界应力2222/ilElAEIAFcrcr一、欧拉临界应力il记AIi其中22Ecr欧拉临界应力受压直杆在临界载荷作用下维持直线形式不稳定平衡时杆内的应力，称为临界应力。压杆的柔度或长细比)(maxppcrEE222ppE2大柔度压杆(细长压杆)：p100102001020069p对Q235钢，E=200GPa，σp=200MPa，则欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算ss9.2压杆的临界应力二、临界应力总图临界应力总图大柔度压杆(细长压杆)：)(pscrba直线经验公式：ppcrO22Ecrbacrscr)(22pcrE中柔度压杆(中长压杆)粗短压杆)()(sbscrbassbscr)(抛物线经验公式：)(211pcrba211bacr例：由Q235钢组成的矩形截面压杆，其两端用铰销支承。已知截面尺寸：a=40mm，b=60mm。设l=2.1m，l1=2m，E=205GPa，σp=200MPa，试求此压杆的临界压力。解：首先确定压杆的柔度。截面对其两个形心主轴的惯性半径不同，且压杆在两个主惯性平面内的支承情况也不同，应分别计算。xy平面内为两端铰支：mmbababAIizz32.171212/3mmaabbaAIiyy55.111212/32.12132.1721001zzilxz平面内为两端固定：6.8655.1120005.01yyil2.121maxz判断临界压力的适用公式：6.10010200102056922ppE此压杆为细长杆，有：MPaPaEcr7.1372.1211020529222kNAFcrcr5.3309.3压杆的稳定条件crcrststcrAFFnFF][一、稳定条件][][][st稳定计算时，一般不考虑开孔造成的局部影响，但对削弱的截面应进行强度校核。折减系数)(或stcrnFFn二、折减系数法例：简易吊车最大起吊重量G=50kN，CD压杆为空心圆杆,其内、外径分别为d=6cm,D=8cm，材料为Q235钢，λp=100，λs=57，E=200GPa，稳定安全系数nst=4，试校核压杆稳定性。解：确定压杆的柔度。mDDDAIi025.008.006.01408.0144/)1(64/)1(222244两端铰支压杆：ml309.230cos/21psil36.92025.0309.21kNGFGFMNCDNCDA15033230sin0CD压杆为中长杆MPabacr20136.9212.1304kNNAFcrcr442)(4/)06.008.0(10201226由平衡条件：stcrnFFn95.2150442CD压杆稳定性不够ABCDG30o2m1m例：已知一端固定、一端球铰的圆截面压杆的最大工作压力为4kN，其长度l=1.25m,规定的nst=6，材料的σp=220MPa，E=210GPa，试确定压杆截面直径d。解：压杆的直径未定，故无法确定其柔度和临界应力公式，先假设为细长杆。由稳定条件：647.0)(4max22dIFnlEIFstcrmmmmElFndst6.200206.010210)25.17.0(104664)(644/193234/132max1704/6.2012507.0il计算压杆柔度44/64//24dddAIi9710220102106922ppEp压杆为大柔度杆的假设成立，则前面按欧拉公式和稳定条件确定的截面直径有效。取：mmd22例：图示立柱用工字钢制成，下端固定，上端受轴向压力F=200kN。其长度l=2m，材料为Q235钢，许用应力[σ]=160MPa。在立柱中点截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。解：由稳定条件：采用逐次逼近或迭代法232631105.2101605.010200][mmFA][][FAAFMPaPaAFil6.761061.210200,2110189.02233min查表得№16工字钢A=2.61×10-3m2，imin=18.9mm17.01由折减系数曲线查得:第一次试算，取5.01MPaMPast2.2716017.0][][1例：图示立柱用工字钢制成，下端固定，上端受轴向压力F=200kN。其长度l=2m，材料为Q235钢，许用应力[σ]=160MPa。在立柱中点截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。2326321017.4101603.010200][mmFAMPaPaAFil6.47102.410200,2.1730231.02233min查表选№22a工字钢A=4.2×10-3m2，imin=23.1mm24.02由折减系数曲线查得:第二次试算，取)(3.01212MPaMPast4.3816024.0][][12326331081.41016026.010200][mmFA第三次试算，取)(26.02323查表选№25a工字钢A=4.85×10-3m2，imin=24.03mm例：图示立柱用工字钢制成，下端固定，上端受轴向压力F=200kN。其长度l=2m，材料为Q235钢，许用应力[σ]=160MPa。在立柱中点截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。MPaPaAFil2.411085.410200,16602403.02233min25.03由折减系数曲线查得:MPaMPast4016025.0]