中考中的最值问题

（2010•自贡中考16题，5分）如图，点Q在直线y＝－x上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为__________________。（2012•自贡中考26题，12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（2013•自贡中考24题，14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．（2014年四川自贡24题，14分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．授课人:自贡市蜀光绿盛实验学校李静从历年自贡中考题来看，最值问题是中考的热点也是难点，常在压轴题中出现。我们研究最值问题十分必要!最值问题主要研究图形中的某些元素(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值。考查同学们的分类讨论、转化、数形结合、函数及方程等思想方法.中考热点分析最值常见类型分类抛物线坐标系圆三角形立体几何图形0104050203线段角度面积的最值应用轴对称求最值应用两点间线段最短求最值1应用垂线段最短求最值23应用二次函数求最值4应用其它知识求最值5解决平面几何最值问题的常用方法数学人教版八年级（上册）第13章第4小节《最短路径问题》应用两点间线段最短求最值1模型构建1：A,B两个村庄，要在小河边MN上修一个水塔，如图，请你帮助他们选择水塔点P的位置，使铺设水管AP+BP最短。.A.BMN.P所以选择在点P时，使设水管AP+BP最短应用两点间线段最短求最值1例1.如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱侧面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为多少（π取3）.BA.A.B.C.解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长BC=20，AC为底面半圆弧长，AC=5π≈15，2222201525ABACBC所以则蚂蚁爬的最短路线长约为25．A1解题关键：将立体图形转化为平面图形表跟踪训练11（2011湖北荆门改编）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过表面爬行到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A.cmB.cmC.cmD.11cmPQ4cm2cm5cm616585MNABCDEFG解题关键：1.将立体图形转化为平面图形2.分类讨论PQ4cm2cm5cmMABCDEFMABPEFQ4cm2cm5cmNNAPEFDQ4cm5cm2cmGGPCEDFQ2cm5cm4cm22(42)561PQ22(52)465PQ22(54)285PQ跟踪训练11（2011湖北荆门改编）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过侧面爬行到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A.cmB.cmC.cmD.11cmPQ4cm2cm5cm6165ABCDEFA22222PQPBQBAPABQB22242585应用轴对称求最值2模型构建3：A,B两个村庄，要在小河边MN上修1个水塔，如图，请你帮助他们选择水塔点P的位置，使铺设水管AP+BP最短。.A.BMN.P.A1解决此类问题一定要注意数形结合！应用轴对称求最值2移景：线段AB，要直线MN上找一个点P，使△ABP的周长最小，请你帮助作出点P的位置。.A.BMN.P.A1应用轴对称求最值2例3.（2012福建莆田）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，P是x轴上使得的值最大的点，则OP·OQ＝．PAPBA’.Q.应用轴对称求最值2解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA－PB|的值最大的点。∵点B是正方形ADPC的中点，∴P（3，0）即OP=3。∴OP•OQ=3×=5。53作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值。∵A′（-1，2），B（2，1），设过A′B的直线为：y=kx+b，则解得∴Q（0，），即OQ=。2kb12kb1k35b353531533yx跟踪训练32（2011辽宁阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．1B．2C．3D．4DF1EFC∽1EAB11ECFCEBAB4126FC2FC4DFDCCFE14ABCDE446ABCDEF应用垂线段最短求最值3模型构建2：A,B两个村庄，要在小河边MN上分别修两个水塔，如图，请你帮助他们选择水塔点P，点Q的位置，使铺设水管AP，BQ最短。.A.BMN.P.Q∴分别选择在点P、点Q时，使设水管AP、BP最短∵点到直线的点的连线段中，垂线段最短应用垂线段最短求最值3例2.（2011浙江台州）如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点P是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．3D．2135B解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2-OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2-4，即，24PQOP当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线L的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为=5此题与动点问题相结合解题关键：在变中找不变，以不变应万变。跟踪训练23B（2012四川广元）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A.（0，0）B.（，）C.（，）D.（，）212122222222没有归纳，就不会提高没有思考，就没有进步我知道的解题技巧……我知道的思想方法……2.（2012浙江台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B．C．2D．＋133B1.（2011黑龙江大庆）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则△ABP的周长的最小值为．4.（2011辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝时，AC＋BC的值最小．533.（2012甘肃兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°B