第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例

第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例目录考纲展示备考指南能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.2014高考导航本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线____的角叫仰角，在水平线____的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正____方向顺时针转到目标方向线的角(如图②，B点的方位角为α)．基础梳理上方下方北目录思考探究仰角、俯角、方位角有何区别？提示：三者的参照位置不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．目录3．方向角相对于某一正方向的角(如图③)．(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．目录课前热身1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°答案：C目录2．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于()A．10°B．50°C．120°D．130°答案：D目录3．一船向北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里目录解析：选C.如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)．在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．目录4．(2011·高考上海卷)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．目录解析：如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝222·32＝6.答案：6目录5.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求河的宽度．在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，目录∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河的宽度为60m.答案：60m目录考点探究讲练互动考点突破考点1测量距离(2013·郑州市质量预测)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.例1目录(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(2≈1.414，3≈1.732)【解】(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD中，由余弦定理得cosD＝AD2＋BD2－AB22AD·BD＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．目录(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝12AD·BDsinD，S△ABC＝12AC·BCsinC，因为AD·BDAC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABDS△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°.故S△ABC＝12AC·BCsinC＝103，所以所求的最低造价为5000×103＝500003≈86600元．目录【名师点评】测量距离问题的注意事项：(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．目录跟踪训练1．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.解析：目录如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1(另一解为负值舍掉)．答案：6－1目录考点2测量高度如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.例2目录【解】如图，设CD＝xcm，则AE＝x－20m，tan60°＝CDBD，∴BD＝CDtan60°＝x3＝33x(m)．∵BD＝EC，在Rt△AEC中，∠ECA＝∠EAC＝45°，目录∴CE＝AE＝33x，∴33x＋20＝x，∴x＝10(3＋3)≈47.32(m)．故山的高度约为47.32m.【题后感悟】求解高度问题首先应分清：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．目录跟踪训练2.如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．目录解析：在三角形BCD中，由正弦定理得asin45°＝BCsin60°⇒BC＝62a.在直角三角形ABC中，AB＝BCtan60°＝62a×3＝322a.答案：322a目录考点3测量角度如图位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．例3目录【解】如题中图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBCsin∠BAC＝217.目录由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.目录【题后感悟】(1)测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义．(2)在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．目录跟踪训练3．如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？目录解：如图，连接A1B2.由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，目录∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝102.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B1B2＝102.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．目录方法感悟1．解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡角、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．目录2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．目录名师讲坛精彩呈现难题易解破解三角函数实际应用中的方向角如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．例123目录(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．抓信息破难点“南偏西60°”转化到△ABC中即∠BAC＝120°.“北偏东α”即∠BCA＝α.“刚好用两小时追上”指|AC|＝20.123目录【解】(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.∴渔船甲的速度为28÷2＝14(海里/小时)．目录(2)∵∠α＝∠BCA，∴sinα＝sin∠BCA.在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠BCA＝BCsin∠BAC∴sin∠BCA＝AB·sin∠BACBC＝12×sin120°28＝3314，∴sinα＝3314.目录【方法提炼】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．目录跟踪训练4．如图所示，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．目录(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？解：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，PA＝1，∴AB＝3.在Rt△PAC中，∠APC＝30°，∴AC＝33.目录在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝332＋32＝303.则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时)．(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝ABBC＝3303＝31010，目录sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)＝sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30°＝31010·32－12·1－310102＝33－11020.由正弦定理得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA.∴AD＝AC·sin∠DCAsin∠CDA＝33·3101033－11020＝9＋313.此时船到达D处距岛A有9＋313千米．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解