力学热学复习(2011-11)

1质点力学基本要求（1）掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度、切向加速度和法向加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，并能灵活运用进行计算。明确它们的相对性、瞬时性、矢量性。（2）掌握牛顿三定律及其适用条件，特别是物体的受力分析及运用牛顿定律解题的基本思路和方法。能用微积分方法求解变力作用下质点动力学问题。（3）掌握冲量的概念，并会计算变力的冲量。（4）掌握功的概念，能计算变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹力和万有引力势能。力学热学复习2（5）掌握质点的动能定理和动量定理，掌握机械能守恒定律、动量守恒定律，通过质点运动情况理解角动量和角动量守恒定律，掌握用守恒定律分析问题的思想和方法，并能用它们分析、解决质点运动时的力学问题。（6）理解伽利略相对性原理，理解伽利略坐标、速度变换。（7）初步掌握在非惯性系中解力学问题的方法，理解惯性力的物理意义，并能用以解决简单的力学问题。（8）初步掌握质心系的概念，能在质心系中运用质心运动定理和柯尼希定理解决简单的力学问题。3刚体力学基本要求：（1）掌握转动惯量概念。会运用平行轴和正交轴定理计算刚体的转动惯量。（2）掌握刚体定轴转动定律和对定轴的角动量、角动量守恒定律。（3）掌握力矩的功、刚体的转动动能、重力势能及机械能守恒。（4）能求解定轴转动刚体和质点联动的问题，能对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量守恒定律。（5）初步掌握刚体的平面平行运动的质心运动定理和质心角动量定理。能解决纯滚动问题。4热学基本要求：（1）理解气体状态方程的意义并应用计算有关气体状态的问题。（2）理解理想气体微观模型和统计假设。掌握对理想气体压强公式的推导，理解理想气体压强和温度的统计意义。（3）确切理解麦克斯韦速率分布律及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。理解并会计算三种速率的统计值。（4）理解玻耳兹曼能量分布律的意义和粒子在重力场中按高度分布的公式。5（5）理解能量均分定理的意义及其物理基础，并会利用该定理计算理想气体的内能。（6）理解气体分子平均碰撞频率及平均自由程概念并掌握其计算。（7）确切理解范德瓦尔斯方程中两个修正项的意义。（8）理解准静态过程、热容量、体积功、热量和内能等概念及其微观意义，并能熟练计算理想气体各过程的热量传递、功和内能。（9）掌握热力学第一定律。能对理想气体（及范德瓦尔斯气体）各种过程进行分析和计算。6（10）理解循环过程概念及热循环、致冷循环的能量转换特征，能计算效率和致冷系数。（11）理解可逆过程和不可逆过程。理解热力学第二定律及其统计意义。（12）理解玻耳兹曼熵公式、熵增加原理、克劳修斯熵公式的意义并能计算熵变。71.沿x轴运动的质点，速度υ=αx，α0。t=0时刻，质点位于x00处，而后的运动过程中，质点加速度与所到位置x之间的函数关系为a=，加速度与时刻t之间的函数关系为a=。xdtdxdtdva2dtxdxxdtdxv两边积分，txxdtxdx00txxn0texx0texxa02282.质量为M的滑块静止于光滑的水平地面上，质量为m的小球从静止开始沿滑动的圆弧面下滑，圆弧半径为R。当小球滑至最低点A时，小球的运动轨迹（相对应于地面）在该点的曲率半径。解：选小球为研究对象：当滑至最低点A瞬时，滑块的水平方向加速度为零，此时在滑块参考系和地面参考系中，小球则应有AnvRva22即RvvA2)(navv有相同的向心加速度。设此时小球相对滑块的速度为，相对地的速度为，9选小球与滑块为研究对象：由于地面光滑，小球下滑过程中，系统沿水平方向动量守恒。设小球运动到A点时，滑块相对地面的速度为V，则有0mvMV得vMmV由相对运动的速度叠加原理有vMmMVvv即mMMvv故RmMMRvvA22)()(103.地面上垂直竖立一高为h=20m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方。在下午2时整，旗杆在地面上影子速度的大小为m/s；在时杆影将伸展至20m。解：以地面为参照系，考虑地球自转相当于太阳绕地球转动，则地球自转一周时间等于太阳绕地球转动一周的时间：（24×60×60s）故太阳绕地球转动的角速度为：606024211从正午时分开始计时，则杆的影长为：thStan杆顶在地面上影子的速度的大小为：thdtdSv2cos1下午2时整，6606026060242t2160606024220h12故有下午2时整旗杆在地面上影子速度的大小为smhdtdSv/16203421606/cos12当S=h时shSt606032606024441tan1tan111即为下午3时整。134.一单摆挂在木板的小钉上，木板质量远大于单摆质量。木板在竖直平面内并可以沿两竖直轨道无摩擦地自由下落。如图所示。现使单摆摆动起来，当摆球离开平衡位置但未达到最高点时木板开始自由下落，则摆球相对于木板的运动情况是。在木板参照系中，摆球受到惯性力、mg重力mg和摆线的拉力T因惯性力和重力恰好抵消，摆球受到的合力为。T解：以木板为参照，木板以重力加速度下落，是非惯性系。14因摆球未摆到最高点，相对于木板必有速度，vTv而T为向心力，故摆球必以此速率作匀速圆周运动。155.质量为M的刚性均质正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架静止地放在以纸平面为代表的光滑水平面上后，令质量为m的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度进入框内，方向与框架的夹角为，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的完全弹性碰撞，试证：（1）小球必将通过缺口离开框架。（2）若框架每边长为，则小球从进入框架到离开，相对水平面的位移为：v45avvmMvamS)(22Mvm16解：证：（1）小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的完全弹性碰撞，相对框架而言小球是作镜面反射，因小球以入射，它相对于框架的运动轨迹为一个边长为的内接正方形，因此小球恰能通过缺口离开框架。452/2a(2)选小球与框架为系统，所受合外力为零，整个运动过程中系统动量守恒。系统质心C的初动量就是小球的初动量，即有cVMmvm)(得质心速度MmvmVc小球在框架内运动时间vavat2222417此时间内系统质心相对水平面的位移为：vMmvamvaMmvmtVSc)(2222而小球相对于水平面的位移与系统质心C位移相同，也为。S186.质量为M的物体，在光滑水平面上平动，动能为E0.由于其内部机构作用使物体分裂成两块，它们的质量分别为和，并分别沿与物体最初运动方向夹角为的对称方向在光滑水平面上平动，如图所示。试求：（1）分裂后两物体的速率和；（2）能使物体沿上述方向分裂成两块的内部机构所提供的最小能量。MM)1(1v2v解：设物体分裂前速度为0vMEv002因水平面方向受合力为零，所以分裂过程中动量守恒，有19因水平面方向受合力为零，所以分裂过程中动量守恒，有sin)1(sincos)1(cos21210MvMvMvMvMv即21210)1(cos])1([vvvvv解得MEvv00122seccos2MEvv21sec101220(2)分裂后两裂块的总能量202221sec)1(4)1(2121EMvMvE内部机构所提供的能量]1)1(4sec[200EEEE求的极小值即为求的极大值。E)1(0)1([dd21得且因02)1([2/122dd2020mintan)1(secEEE表明此时有极小值，E217.小滑块A位于光滑水平桌面上，小滑块B处在位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长为l、不可伸长、无弹性的轻绳相连。开始时，A、B间的距离为l/2，A、B间的连线与小槽垂直，如图所示（图示平面为桌面）。今给滑块A以冲击，使之获得平行于槽的速度，求滑块B开始运动时的速度。0v解：设绳拉紧的瞬时，A的速度为、B的速度为，取坐标如图。1v2v在方向系统不受外力，动量守恒，有y)1(210mvmvmvy22)1(210mvmvmvyA对B所在位置的角动量守恒，有cossin2110lmvlmvlmvyx图中，有60)2(3110yxvvv绳拉紧瞬间，A相对B的运动是以B为中心的圆周运动，其相对速度与绳垂直，且v21vvv即有)4(21cos)3(23sin2211vvvvvvvvyx可解得：0273vv沿y方向。238.如图所示系统，质量为2m的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O并与盘面垂直的水平光滑轴转动，转轴半径线度可忽略，物体1、2的质量分别为m和2m，它们由轻质不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧，细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为。开始时，滑轮与两物体均处于静止状态，而后若，则滑轮不会转动；若，但较小时，滑轮将会转动，同时滑轮与绳之间有相对滑动；当达到某临界值时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求值。00002m24解：对与滑轮接触的绳取微元作受力分析如图所示，有dTdTddTdNdTdTddTdf)(2sin)(2sin)()(2cos)(2cos)(当达到临界值时，0dTdNdTdf)()(00分离变量，积分，21)()(00TTTdTd得120TTn25对物体1、2受力分析如图所示，由牛顿第二定律及刚体转动定律有RaMRRTRTmaTmgmamgT2122122可解得maTmaTag6,5,421所以5612TT120TTn5610n而故269.两根长均为l，质量均为m的匀质细杆固结成的对称T字形如图所示。过T字形尺上任意一点作垂直于T字形尺所在平面的转动，T字形尺相对该转轴便有一转动惯量,试求这些转动惯量中的最大值Jmax.再设Jmax对应的转轴为固定的水平光滑轴,T字形尺绕该轴在竖直平面上的平衡位置附近作无摩擦的小角度摆动,试求摆动周期T.解：因质量均与分布在等长的T字形尺上，故当轴位于尺的竖杆最远端(即题图中的最下端);且与尺所在平面垂直时,转动惯量最大,其值为2222max1217]121[31mlmlmlmlJ27当尺绕上述位置的水平光滑轴O摆动时,质心C距轴O的距离为lmmllmrC4322T字形尺在重力矩作用下摆动,由转动定律,有22maxsin2dtdJmgrC小幅度摆动时,sinθ≈θ,代入rC、Jm得lgdtd17182228此为简谐振动微分方程,角频率lg1718故摆动周期glT181722lgdtd1718222910.下面是使空中飞船停止转动的一种可能的方案。将质量均为m的两质点用长为l的两根轻线系于圆盘状飞船的直径两端P,P'，如图所示。起初，轻线拉紧两质点靠在盘的边缘，与圆盘一起以角速度ω旋转。当质点离开飞船边缘逐渐伸展至连线沿径向拉直的瞬时，割断质点与飞船的连线。为使此时飞船正好停止转动，连线长度l应为多少？设飞船可看作质量为M，半径为R的均质圆盘（l用M、R、ω、m表示）。解：飞船绕盘心轴的转动惯量为221MRJ两质点绕盘心轴的转动惯量为22mRJ30从质点离开飞船边缘至连线沿径向拉直的过程中，飞船及两质点系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒，)(2)(lRmvJJ得)(2)(lRmJJv又由于过程中外力的功为零，亦无非保守内力作功，系统的机械能守恒，即22212)(21mvJJ得mJJv2)(22消去ω，代入