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1.2函数及其表示课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章集合与函数概念考点一考点二考点三读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.1课堂强化No.2课下检测1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示方法[读教材·填要点][小问题·大思维]1．任何一个函数都能用解析式表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析式表示．2．已知函数f(x)如下表所示：x1234f(x)－3－2－4－1则f(x)的定义域是什么？值域是什么？提示：由表格可知定义域为{1，2，3，4}，值域为{－1，－2，－3，－4}．提示：任作垂直于x轴的直线，如果图形与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数图像；若图形与直线存在两个或两个以上的交点，则此图形不可作为函数的图像．如图，由上述判断方法可得，(1)可作为函数的图像，(2)不可作为函数的图像，因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点．3．如何判断一个图形是否可以作为函数图像？[研一题][例1]已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)．[自主解答]∵f(x)为二次函数，∴可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝c＝2.∴f(x)＝ax2＋bx＋2，f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2＝a(x2＋2x＋1)＋bx＋b＋2，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝x－1.∴2a＝1，a＋b＝－1得a＝12，b＝－32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.若将例1中“f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1”改为“f(1)＝2，顶点坐标为(12，－3)”，求f(x)．解：设二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0).∵顶点坐标为(12，－3)，则h＝12，k＝－3，∴f(x)＝a(x－12)2－3.又∵f(1)＝2，∴2＝a(12)2－3.∴a4＝5.∴a＝20.∴f(x)＝20(x－12)2－3.[悟一法]待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为f(x)＝ax＋b(a≠0)，反比例函数解析式设为f(x)＝kx(k≠0)，二次函数解析式设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，得到待定系数的值；(4)将所求待定系数的值代回原式从而得到函数的解析式．[通一类]1．如果一次函数f(x)，满足f(f(x))＝2x－1，求一次函数f(x)的解析式．解：∵f(x)为一次函数，设f(x)＝kx＋b.∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1.∴k2＝2，kb＋b＝－1，k＝±2.当k＝2时，(2＋1)b＝－1，b＝－12＋1＝1－2，f(x)＝2x＋1－2.当k＝－2时，(1－2)b＝－1，b＝12－1＝2＋1，f(x)＝－2x＋2＋1.[研一题][例2]已知f(1＋1x)＝1＋x2x2＋1x，试求f(x)[自主解答]法一(换元法)：令t＝1＋1x，则t∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x＝1t－1，代入1＋x2x2＋1x中，可得f(t)＝t2－t＋1，即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二(配凑法)：f(1＋1x)＝1＋x2x2＋1x＝x2＋2x＋1x2－2xx2＋1x＝(1＋1x)2－(1＋1x)＋1，因为1＋1x≠1，所以函数解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．[悟一法]已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．(2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．[通一类]2．已知f(x－1)＝x＋2x，求f(x)．解：令x－1＝t，则x＝(t＋1)2∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)，(t≥－1)，＝t2＋2t＋1＋2t＋2＝t2＋4t＋3.∴f(x)＝x2＋4x＋3.(x≥－1).[研一题][例3]作出函数y＝x2－4x＋6，x∈[0，4]的图像．[自主解答]y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2在x∈[0，4]上如下图．[悟一法]1．作函数图像的一般步骤：(1)列表：计算要正确，取值要具有代表性、典型性；(2)描点：点的位置要准确；(3)连线：用光滑曲线连接起来．2．作函数图像时应注意的问题：(1)在定义域内作图；(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像；(3)宜标出某些关键点，例如图像的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．[通一类]3．作出下列函数的图像．(1)y＝x(－2≤x≤2，x∈Z且x≠0)；(2)y＝－2x2＋4x＋1(0x≤3)；解：(1)由于函数定义域为大于等于－2，小于等于2且不等于0的整数组成的集合，所以函数图像为图中直线y＝x上孤立的点．(2)∵函数的定义域为(0，3]，这个函数的图像是二次函数y＝－2x2＋4x＋1在(0，3]上的部分．已知f(x－1)＝x3－3x2＋2x，求f(x)的解析式．[解]法一：(换元法)设u＝x－1，则x＝u＋1，代入原函数式得，f(u)＝(u＋1)3－3(u＋1)2＋2(u＋1)＝u3－u，∴f(x)＝x3－x.法二：(配凑法)∵x3－3x2＋2x＝x3－x2－2x2＋2x＝x2(x－1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－2x)＝(x－1)[(x－1)2－1]＝(x－1)3－(x－1)，∴f(x－1)＝(x－1)3－(x－1)．∴f(x)＝x3－x.[点评]法一中，u＝x－1的前提是以x－1，u为自变量的函数的定义域相同．法二中，将f(x－1)＝(x－1)3－(x－1)直接写成f(x)＝x3－x也是同样的道理．