2011-4-12-3.2积空间

(有限)积空间11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.11(,),,(,)nnXX1n1nXXX:XXR11(,,),(,,)nnxxxyyyX21(,)(,)niiiixyxy(,)X定义3.2.1设是个度量空间.令定义满足对任意容易验证是X的一个度量.称为X的积度量；称为n个度量空间的度量积空间.注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU注：n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间.定理3.2.1设是度量空间，是它们的积空间.又设和T分别是由度量和诱导出来的和X的拓扑，其中则X的子集族是X的拓扑T的一个基.nR11(,),,(,)nnXX1n(,)XTiiiX1,,in1B={|T}niiUUU定理3.2.2设是个拓扑空间.则有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.证明:(1)由于所以；(2)若11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1,1,2,,B={|T}niiUUUin1BnXXXBBBX11,BnnUUVV定理3.2.2设是个拓扑空间.则有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.证明:(1)由于所以；(2)若11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1,1,2,,B={|T}niiUUUin1BnXXXBBBX11,BnnUUVV定理3.2.2设是个拓扑空间.则有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.证明:(1)由于所以；(2)若11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1,1,2,,B={|T}niiUUUin1BnXXXBBBX11,BnnUUVV定理3.2.2设是个拓扑空间.则有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.证明:(1)由于所以；(2)若11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1,1,2,,B={|T}niiUUUin1BnXXXBBBX11,BnnUUVV定理3.2.2设是个拓扑空间.则有唯一的一个拓扑T以X的子集族为它的一个基.证明:(1)由于所以；(2)若11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1,1,2,,B={|T}niiUUUin1BnXXXBBBX11,BnnUUVV则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn则由th2.6.3知结论成立.定义3.2.2设是个拓扑空间.则的以子集族为基的唯一的那个拓扑T，称为的积拓扑.1111)=BnnnnUUVVUVUV（）（）（（）11(,),,(,)TTnnXX1n1nXXX1B={|T}niiUUU12,,TTTn拓扑空间称为拓扑空间的(拓扑)积空间.定理3.2.3设是个度量空间的度量积空间.则将X和诸都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间.特别地，是n个R的(拓扑)积空间.(,)TX11(,),,(,)TTnnXXnR1nXXX1n12,,,nXXXiX12,,,nXXX拓扑空间称为拓扑空间的(拓扑)积空间.定理3.2.3设是个度量空间的度量积空间.则将X和诸都考虑作为拓扑空间时，X是的（拓扑）积空间.特别地，是n个R的(拓扑)积空间.(,)TX11(,),,(,)TTnnXXnR1nXXX1n12,,,nXXXiX12,,,nXXX拓扑空间称为拓扑空间的(拓扑)积空间.定理3.2.3设是个度量空间的度量积空间