27[1].2.1相似三角形的判定(3)

27.2三角形相似的判定（3）复习1、相似三角形有哪些判定方法?AC/B/A/CB2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？（１）．定义法（不常用）（２）．“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（３）．“三边”定理：三边对应的比相等，两个三角形相似.（４）．“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.观察观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺,它们一定相似吗？如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？(1)作△ABC和△A’B’C’,使得∠A＝∠A’,∠B＝∠B’，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C’吗?(2)分别度量这两个三角形的边长,计算,你有什么发现?,,A'B'A'C'ABACB'C'BC(3)△ABC和△A’B’C’相似吗?ABCA/C/B/分析:要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理；四是上节课学习的“两边夹角”定理。ABCA/C/B/已知：在△ABC和△A/B/C/中,//,BBAA求证:ΔABC∽△A/B/C/（把小的三角形移动到大的三角形上）。怎样实现移动呢?为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。ABCA/C/B/P48判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。DE∵AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/∴ΔADE≌ΔA/B/C/（SAS）∴∠ADE=∠B/，又∵∠B/=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。∴ΔA/B/C/∽ΔABC求证：△ABC∽△A’B’C’已知：在△ABC和△A’B’C’,中,若∠A=∠A’，∠B=∠B’，----“两角”定理用数学符号表示：例1、已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A=400，∠B=800，∠E=800，∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEFAFECBD证明：∵在ΔABC中，∠A=400，∠B=800，∴∠C=1800－∠A－∠B=1800－400－800＝600∵在ΔDEF中，∠E=800，∠F=600∴∠B=∠E，∠C=∠F∴ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。4008008006006002、课堂练习（1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750，∠C=500，∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？（2）已知等腰三角形ΔABC和ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角，求证：①如果∠A=∠A/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。②如果∠B=∠B/，那么ΔABC∽ΔA/B/C/。ABCA/B/C/750750500550550ABCA/B/C/ABCA/B/C/例2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.AEFBCD例题分析解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等）∠AED＝∠C.（两直线平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似．）3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相似的三角形证明.9524301054530301056543304.52.5245301应用新知：选一选（1）与（4）与（5）----“两角”定理（2）与（6）--“两边夹角”定理4、判断题：(1)所有的直角三角形都相似.()(2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.()(3)所有的等边三角形都相似.()(4)所有的等腰直角三角形都相似.()(5)顶角相等的两个等腰三角形相似.()(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似.()×√√√√×应用新知：想一想ABDC图3填一填（1）如图3，点D在AB上，当∠＝∠时，△ACD∽△ABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件，就可以使△ADE与原△ABC相似。●ABCE图4∠ACD∠B(或者∠ACB＝∠ADB)DE//BCD(或者∠C＝∠ADE)(或者∠B＝∠ADE)DDBAC•P48练习1、2例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD证明：连接AC、BD。∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A=∠D。同理∠C=∠B（或∠APC＝∠DPB）。∴△PAC∽△PDB。∴ABCDPO·PBPCPDPA即PA·PB=PC·PD例2.弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PDABCDPO证明:连接AD、BC∵∠A、∠C都是BD所对的圆周角⌒∴∠A=∠C同理:∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB）∴△PAD∽△PCBPBPDPCPA即PA·PB=PC·PDABCDE例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°则AD·AB=AE·AC85°35°60°85°ADEADE=180AAED1803560=85解：在△中，85ADEACBAA=35又ADEACB△△ADAEACABADAB=AEAC即例4、在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACD=∠ABC。求证：AC2=AB·ADAACDAB证明：平分BCDBACCAD＝ACDABC又＝ACDABC△△ACADABAC＝ACACABAD＝2ACABAD即＝•1、在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥BA于点D。证明：AC2＝AD·AB练一练BDAC•2、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC。•证明：BD2＝AD·BC练一练BDCEABDC3.如图已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且。证明：练一练ADABAEAC＝AEDB＝EABDC解：∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如图，∠ABD=∠CAD=2AC=8，求ABABCDDBCA184√212√24、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D若AB=6AD=2则AC=BD=BC=相似三角形的识别方法有那些？方法1：通过定义方法5：“两角”定理：两角对应相等，两三角形相似。三个角对应相等三边对应成比例课堂小结（这可是今天新学的，要牢记噢！)方法2：“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个三角形相似.方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似.（不常用）四、课外作业1.填《练习册》2.复习下课5、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于DABDCEF问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB:AC=DF:BFABCDEABC21OCBADOCDABABCDE如图,⊿ABC中,CD是边AB上的高,且AD:CD=CD:BD,求∠C的大小.DBAC综合提高4.如图，P是RtΔABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ΔABC，使截得的三角形与ΔABC相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条应用新知：画一画C4.如图,∠B=90°,AB=BE=EF=FC=1,求证:(1)⊿AEF∽⊿CEA.(2)∠1+∠2=45°2311111CFEBA证一证应用新知：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。证明:∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.∴ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）。同理ΔCBD∽ΔABC。∴ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。求证：ΔABCΔACD∽ΔCBD。∽延伸练习已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。ABCDE（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；FAFEDC答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.课外思考题：如图，在ΔABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与ΔABC相似？ABCDEABCDE（提示：图有两种可能）泰勒斯测量金字塔高度的示意图:AA′BCB′C′CBAC′B′A′如果人体高度AC＝1.7米，人影长BC＝2.2米，而B′C′＝176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？可证△ABC∽△A’B’C’即所以A’C’=1.7x176÷2.2=136mC'B'BCC'A'AC怎样创造具备预备定理条件的图形？ABCDFE是否相似？利用相似三角形的定义？利用相似三角形的预备定理？条件不够可以证明！求证：△ABC∽△A’B’C’已知：在△ABC和△A’B’C’,中,若∠A=∠A’，∠B=∠B’，把小的三角形移动到大的三角形上。ABCDFEMN∵AM=DE,∠A=∠D，AN=DF∴ΔAMN≌ΔDEF，∴∠AMN=∠E，又∵∠B=∠E，∴∠AMN=∠B，∴MN//BC，∴ΔAMN∽ΔABC。∴ΔDEF∽ΔABC证明：在AB,AC上分别截取AM=DE,AN=DF已知:在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,求证:△ABC与△DEF.判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。(两角对应相等，两三角形相似)找一找FABCDGE图1（1）图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。（2）图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。答：相似三角形有△ADE∽△AFG∽△ABC。答：相似三角形有△AOB∽△FOE∽△DOC。AB图2CFDEO（3）在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？∠B=180°－（∠A+∠C)=180°－（80°+60°)=40°