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第二章概率§1离散型随机变量及其分布列课程目标学习脉络1.在对具体问题的分析中,能说出随机变量、离散型随机变量的意义.2.能写出随机变量所取的值及表示的随机试验的结果.3.能解决取有限值的离散型随机变量的分布列的问题.1.随机变量(1)我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数,这种对应称为一个随机变量,通常用大写的英文字母如X,Y来表示.实际上,随机变量是从随机试验每一个可能的结果所组成的集合到实数集的映射.特别提醒1.在介绍随机变量的概念时,引入了“随机试验”的概念.一般地,一个试验如果满足下列条件:(1)试验可以在相同的情形下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验.2.所谓随机变量,即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的,随机变量是将随机试验的结果数量化.思考1随机变量与函数有何联系和区别?提示:联系:随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验结果映射为实数,函数把实数映射为实数;随机试验的结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域.区别:随机变量的自变量是试验结果,而函数f(x)的自变量是实数x.(2)随机变量的取值能够一一列举出来,这样的随机变量称为离散型随机变量.特别提醒1.并不是所有的随机变量的取值都能一一列出,如电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数,我们是无法一一列出的.2.若ξ是离散型随机变量,则f(ξ)也是离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列设离散型随机变量X的取值为a1,a2,…,随机变量X取ai的概率为pi(i=1,2,…),记作:P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1)或把上式列成下表:X=aia1a2…P(X=ai)p1p2…上表或(1)式称为离散型随机变量X的分布列.显然pi0,p1+p2+…=1.如果随机变量X的分布列为上表或(1)式,我们称随机变量X服从这一分布(列),并记为X~𝑎1𝑎2…𝑝1𝑝2….思考2求分布列的步骤有哪几步?提示:(1)明确随机变量X取哪些值;(2)求X取每一个值的概率;(3)列成表格的形式.特别提醒1.0pi(i=1,2,3,…,n)和p1+p2+…+pn=1是检验一个离散型随机变量分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.还可利用这两个结论求出分布列中的未知参数.2.离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.故有:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.探究一探究二探究三探究四探究一随机变量、离散型随机变量概念的理解判断一个变量是否为随机变量,主要是看变量的值的出现是否是随机的,结果是随机的变量为随机变量,如果随机变量能按一定的顺序一一列举出来,则这种随机变量则是离散型随机变量.探究一探究二探究三探究四【例1】下列变量中属于离散型随机变量的有.①在2014张已编号的卡片(从1号到2014号)中任取一张,被取出的编号数为X;②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X;③某工厂加工的某种钢管,外径与规定的外径之差X;④投掷一颗骰子,六面都刻有数字6,所得的点数X.解析:①②中变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的,是离散型随机变量,③中的X的取值为某一范围内的实数,无法列出,不是离散型随机变量.④中的X的取值是确定的,是6,不是随机变量.答案:①②探究一探究二探究三探究四【例2】写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数差的绝对值Y;(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数ξ.解:(1)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.用(a,b)来表示一次基本事件中第一枚骰子掷出的点数为a,第二枚骰子掷出的点数为b.探究一探究二探究三探究四Y=0表示两次掷骰子的点数相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).Y=1表示两次掷骰子的点数相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).Y=2表示两次掷骰子的点数相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).Y=3表示两次掷骰子的点数相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).Y=4表示两次掷骰子的点数相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).Y=5表示两次掷骰子的点数相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1).(2)ξ可取0,1,…,n.ξ=i,表示被呼叫i次,其中i=0,1,2,…,n(n∈N).探究一探究二探究三探究四探究二离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的一般步骤:(1)确定X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的有关知识,求出每个取值相应的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)写出或列出分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.探究一探究二探究三探究四【例3】某商店试销某种商品20天,获得如下数据:日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至．．．3件,否则不进货．．．,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货．．．的概率;(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.探究一探究二探究三探究四解:(1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为1件)=120+520=310.(2)由题意知,X的可能取值为2,3.P(X=2)=P(当天商品销售量为1件)=520=14;P(X=3)=P(当天商品销售量为0件)+P(当天商品销售量为2件)+P(当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.所以X的分布列为X23P1434探究一探究二探究三探究四点评求离散型随机变量的分布列,其中关键是要明确离散型随机变量取每个值的意义,然后根据具体的意义来求取每个值的概率.探究一探究二探究三探究四探究三离散型随机变量的分布列的应用离散型随机变量的分布列的应用有以下三个方面:(1)运用离散型随机变量分布列的结论“pi0”与“p1+p2+…+pn=1”,可以求出分布列的相关表格中某个未知的概率或参数;(2)根据给出的分布列可求出离散型随机变量在某一范围内时的概率;(3)可运用分布列的结论检验所求分布列及某些事件的概率是否正确.探究一探究二探究三探究四【例4】已知随机变量ξ的概率分布如下:ξ12345678910P23232233234235236237238239m则P(ξ=10)=()A.239B.2310C.139D.1310解析:由离散型随机变量分布列可知23+232+233+…+239+m=1,∴m=1-23+232+233+…+239=139.答案:C探究一探究二探究三探究四【例5】设离散型随机变量X的分布列P𝑋=𝑘5=ak(k=1,2,3,4,5),(1)求常数a的值;(2)求P𝑋≥35的值.解:由题意得x的分布列为X152535451Pa2a3a4a5a(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=115.(2)P𝑋≥35=P𝑋=35+P𝑋=45+P(X=1)=315+415+515=1215=45.探究一探究二探究三探究四名师点津解答此类问题的关键有两点:一是依据试验的所有可能结果写出离散型随机变量的可能取值;二是依据离散型随机变量取值所对应的结果求出离散型随机变量取每一个值的概率.探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析【例6】若离散型随机变量X的分布列是X01P9c2-c3-8c则常数c的值为.错解:由离散型随机变量的分布列的性质,得9c2-c+3-8c=1,解得c=13或c=23.错因分析:在利用分布列的性质解题时,我们往往易在解题过程中忽略9c2-c0和3-8c0这两个限制条件,从而造成增根.正解:∵9𝑐2-c0,3-8𝑐0,9𝑐2-c+3-8c=1,∴c=13.123451.已知:①某机场候机室中一天的旅客数量X;②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X;③某篮球下降过程中离地面的距离X;④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是()A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X答案:C123452.已知离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以“x”“y”(x,y∈N)代替,其表如下:X=i123456P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20则P32𝑋113=()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55答案:B123453.袋中装有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回取出的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量ξ,则ξ所有可能取值的个数是.答案:9123454.在A,B两个袋中都有6张分别写有数字0,1,2,3,4,5的卡片,现从每个袋中任取1张卡片,两张卡片上的数字之和记为X,则P(X=7)=.答案:19123455.一个类似于细胞分裂的物体,1次分裂为2,2次分裂为4,3次分裂为8,如此继续分裂有限次,而随机终止.设分裂n次终止的概率为12𝑛(n=1,2,…).记ξ为原物体在分裂终止后生成的子块数目,求P(ξ≤10).解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为ξ24816…2n…P121418116…12n…所以P(ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=8)=12+14+18=78.