2015-2016学年高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5数列第二章“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci，公元1170～1240)，斐波那契数列指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21，….这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．它的通项为：an＝15[(1＋52)n－(1－52)n]．有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的．斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现．例如：在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直到到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数．叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回，叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数．在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序比，多数的叶序比呈现为斐波那契数的比，真让我们惊叹于这世界的奥妙无穷．2．1数列的概念与简单表示法第二章课堂探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案1．理解数列及其有关概念．2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项．3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28，…，78.从1984年到2008年，我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32,51.这两个问题有什么共同特点呢？1．两个非空数集A，B，对于集合A中的每一个数，通过___________，在集合B中都有________一个数与其对应．这时就称f：A→B为从集合A到集合B的函数．2．对于一次函数y＝x＋1，当x＝－2，－1,0,1,2，…时，y＝________________.体现了有规律的一列数与另一列数的___________．对应关系f唯一－1,0,1,2,3，…对应关系1．观察下列示例，想一想它们都涉及一些数，这些数的呈现有何特点，有无规律可循？(1)正整数1,2,3,4，……的相反数依次为－1，－2，－3，－4……(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂依次是－2,4，－8,16.(3)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：12，14，18，116，132，….2．由上面的例子经过提炼我们得到：(1)数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项．排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作an.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an…，简记为{an}．注意：①数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．②项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．③{an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项．④数列的简记符号{an}，不能理解为集合{an}，其区别如下表：数列集合示例区别数列中的项是有序的，两组相同的数字，按照不同的顺序排列得到不同的数列集合中的元素是无序的如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相等集合数列中的项可以重复出现集合中的元素满足互异性，集合中的元素不能重复出现如数列1,1,1，…每项都是1，而集合则不可以下列说法正确的是()A．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列{n＋1n}的第k项是1＋1kD．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}[答案]C[解析]{1,2,3,5,7}是一个集合，所以A错；由于数列的项是有顺序的，所以B错；数列{n＋1n}的第k项是k＋1k＝1＋1k，C正确；而D中数列应表示为{2(n－1)}．(2)数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．注意：①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式，即an＝f(n)．②已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．③同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．数列－1，85，－157，249，…的通项公式可以是()A．an＝(－1)nn2＋n2n＋1B．an＝(－1)nnn＋32n＋1C．an＝(－1)nn2＋2n2n－1D．an＝(－1)nnn＋22n＋1[答案]D[解析]通过观察，数列中的数正负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.又第1项可改写成分式－33，则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式．分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，可写成n(n＋2)的形式．所以此数列的一个通项公式为an＝(－1)nnn＋22n＋1.3．数列的分类：(1)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按数列的每一项随序号的变化情况进行分类：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列．即an＋1an(n＝1,2,3…)．从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．即an＋1an(n＝1,2,3…)．各项相等的数列叫做常数列．从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7,7,7，…；(4)13，19，127，181，…；(5)0,0,0,0,0,0；(6)0，－1,2，－3，….[解析]项数有限的数列是有穷数列，故(5)是有穷数列；项数无限的数列是无穷数列，故(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列是递增数列，故(2)是递增数列；同理，从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列是递减数列，故(1)(4)是递减数列．数列(3)(5)的各项都相等，故(3)(5)是常数列．从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列是摆动数列，故(6)是摆动数列．4．递推数列如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．注意：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础；(2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式，这是递推的依据；(3)同通项公式一样，不是所有的数列都可以用递推公式表示．已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝________.[答案]120[解析]因为an＝nan－1，且n≥2，所以当n＝2时，a2＝2a1＝2；当n＝3时，a3＝3a2＝6；当n＝4时，a4＝4a3＝24；当n＝5时，a5＝5a4＝120.故a5＝120.课堂探究学案下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()数列的概念及分类A．1，12，13，14，…B．sinπ7，sin2π7，sin3π7，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，21[答案]C[解析]D是有穷数列，A是递减数列，B是摆动数列，故选C．[方法规律总结]解答数列概念题要紧扣相关定义，观察数列的项数特征确定是有穷数列还是无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减．已知下列数列：(1)2000,2004,2008,2012；(2)0，12，23，…，n－1n，…；(3)1，12，14，…，12n－1，…；(4)1，－23，35，…，－1n－1·n2n－1，…；(5)1,0，－1，…，sinnπ2，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________(将合理的序号填在横线上)．[答案](1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)[解析](1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为n－1n＝1－1n)；(3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4.写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数．求数列的通项公式(1)112，223，334，445，…；(2)11,102,1003,10004，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)12，2，92，8，252.[分析]通过适当变形(如裂项)观察项的变化规律求解．(1)把每一项分成整数和分数两部分；(2)把每项分别可写成10＋1,100＋2等；(3)可把每项写成10－1,100－1等；(4)把2和8都改写成以2为分母的分数．[解析](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为12，23，34，45，…，与序号n的关系是nn＋1，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋nn＋1＝n2＋2nn＋1.(2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1000＋3,10000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n.(3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1000－1,10000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1.(4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式是an＝n22.[方法规律总结]根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等)的联系．(1)数列14，12，34，1，54，32，…的一个通项公式为________．(2)数列1,22，33，8,55，66，77，…的一个通项公式为__________；(3)数列1，－12，14，－18，116，…的一个通项公式为__________．[答案](1)an＝n4(2)an＝nn(3)an＝(－12)n－1[解析](1)先把各项都写成分数形式，注意到4＝2×2，可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即14，24，34，44，54，64，…，∴an＝n4.(2)先将数列中的部分项作调整，使之都含有根号和系数11，22，33，44，55，66，77，…，∴an＝nn.(3)奇数项为正，偶数项为负，可由(－1)n－1来实现，分子全为1，分母依次为20,21,22,23，…，∴an＝－1n－12n－1，即an＝(－12)n－1.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．[解析](1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－2