2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(一)课件 新人教A版选修2-1

2．2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标预习导学典例精析栏目链接1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标准方程的推导过程．学习目标预习导学典例精析栏目链接研题型学习法题型一椭圆定义的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例1已知F1，F2是椭圆x225＋y29＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．解析：(1)由椭圆的方程x225＋y29＝1可知，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4，0)，F2(4，0)．学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10.∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝20.规律方法：一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义求解，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练1．椭圆x225＋y29＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．4D．10解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－5＝5.答案：A题型二已知焦点位置求椭圆方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0，2)且过－32，52.分析：求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9，∴所求椭圆标准方程为x225＋y29＝1.(2)方法一∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知，2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22学习目标预习导学典例精析栏目链接＝3210＋1210＝210，∴a＝10.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，∴所求标准方程为y210＋x26＝1.方法二∵b2＝a2－c2＝a2－4，∴可设所求方程为y2a2＋x2a2－4＝1，然后将点－32，52的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接规律方法：椭圆的标准方程：(1)只有当椭圆的两个焦点F1、F2在坐标轴上，且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是椭圆的标准方程．(2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式．(3)椭圆中的代表a，b，c的三条线段的关系是a2＝b2＋c2.(4)椭圆标准方程的一般式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．当焦点位置不定时，常设一般式．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)．解析：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴2a＝（5＋4）2＋（5－4）2＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为x225＋y29＝1.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，∴4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1⇒a2＝4，b2＝1.故所求椭圆的方程为y24＋x2＝1.题型二待定系数法求椭圆方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例3已知椭圆经过点A(3，－2)，B(－23，1)，求椭圆的标准方程．解析：方法一当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有（3）2a2＋（－2）2b2＝1，（－23）2a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有（－2）2a2＋（3）2b2＝1，1a2＋（－23）2b2＝1，解得a2＝5，b2＝15.学习目标预习导学典例精析栏目链接因为ab0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.方法二设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15，所以所求的椭圆方程为x215＋y25＝1.学习目标预习导学典例精析栏目链接规律方法：求椭圆标准方程的方法：(1)定义法：能够根据题设条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定椭圆的标准方程．(2)待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件求出方程中的参数．当椭圆的焦点位置不确定时，常设椭圆的标准方程为一般式．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练3．求经过点A1，62、B233，1的椭圆的标准方程．解析：可设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．将A、B点坐标代入，得m＋32n＝1，43m＋n＝1，解之得m＝12，n＝13.所以所求椭圆的标准方程为x22＋y23＝1.学习目标预习导学典例精析栏目链接析疑难提能力学习目标预习导学典例精析栏目链接对椭圆标准方程理解不清致误．【典例】若方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，则m满足的条件是________．解析：由方程x2m＋y22m－1＝1表示椭圆，知m0，2m－10，m≠2m－1，解得m12且m≠1.答案：mm12且m≠1【易错剖析】此题的解答中，容易漏掉m≠2m－1，而得出错误答案m12.