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2．2.2椭圆及其标准方程(二)学习目标预习导学典例精析栏目链接1．进一步理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程．2．会求与椭圆有关的轨迹方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接研题型学习法题型一利用椭圆定义求轨迹方程学习目标预习导学典例精析栏目链接例1已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，所以|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，所以|MC2|＝3＋r.所以|MC1|＋|MC2|＝16|C1C2|＝8，所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，学习目标预习导学典例精析栏目链接且2a＝16，2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为x264＋y248＝1.规律方法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练1．已知两定点F1(－1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.x216＋y29＝1B.x216＋y212＝1C.x24＋y23＝1D.x23＋y24＝1解析：因为|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，所以|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×2＝4|F1F2|.所以P的轨迹应是以F1，F2为焦点的椭圆．这里c＝1，a＝2.所以轨迹方程为x24＋y23＝1.答案：C题型二与椭圆有关的轨迹问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→，求点M的轨迹．解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即x29＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．规律方法：本题求轨迹方程的方法是代入法，将动点的坐标(x，y)利用相关点转移到已知曲线上，从而得出动点轨迹方程．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．若将例2“点M在PP′上，并且PM→＝2MP′→”改为“点M在直线PP′上，并且P′M→＝λP′P→(λ＞0)”，则M点的轨迹是什么？解析：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．题型三焦点三角形问题学习目标预习导学典例精析栏目链接例3(2013·德州高二检测)若F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，求△AF1F2的面积．解析：如图所示，|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6，由|AF1|＋|AF2|＝6，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝36.又在△AF1F2中，|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2＝2|AF1||AF2|cos45°，所以36－2|AF1||AF2|－8＝2|AF1||AF2|，所以|AF1||AF2|＝282＋2＝14(2－2)，所以S△AF1F2＝12|AF1||AF2|sin45°＝12×14(2－2)×22＝7(2－1)．学习目标预习导学典例精析栏目链接规律方法：椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形．解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝12absinC把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．学习目标预习导学典例精析栏目链接3．已知椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解析：(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－34a2＝1，即14a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为y24＋x23＝1.►变式训练学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝52，|PF2|＝32，又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝522＋322－222×52×32＝35.即∠F1PF2的余弦值等于35.学习目标预习导学典例精析栏目链接析疑难提能力学习目标预习导学典例精析栏目链接对椭圆标准方程掌握不准致误．【典例】若方程x2sinθ＋y2sin2θ＝1表示椭圆，则θ的取值范围是()A.kπ，kπ＋π2，k∈ZB.2kπ，2kπ＋π2，k∈ZC.2kπ，2kπ＋π4，k∈ZD．以上皆不正确学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：把方程x2sinθ＋y2sin2θ＝1化为标准形式：x21sinθ＋y21sin2θ＝1，由1sinθ0，1sin2θ0，sinθ≠sin2θ得：(2kπ，2kπ＋π3)∪2kπ＋π3，2kπ＋π2.答案：D【易错剖析】本题的解答易出现两个错误：1．不能将椭圆方程化为标准形式；2．不能正确求解三角不等式组．