梅西大学介绍

第二章平面向量2.3平面向量的基本及坐标表示2.3.1平面向量基本定理题型1向量共线问题例1设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是()A．λ1＝1B．λ1＝2C．λ1＝3D．λ1＝4解析：a，b共线，则存在实数k，使得a＝kb即可求解．但作为选择题，看到a＝λ1e1＋e2中e2的系数为1，而b＝4e1＋2e2中e2的系数为2，所以λ1＝2.答案：B点评：若两个向量共线，则作为基底的两个向量相应系数成比例．►跟踪训练1．设AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3a－3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是(C)A．A、B、CB．A、C、DC．A、B、DD．B、C、D解析：由BC→＝－2a＋8b，CD→＝3a－3b得BD→＝a＋5b.题型2用基底表示向量例2已知AD是△ABC的BC边上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.12(a－b)B．－12(a－b)C．－12(a＋b)D.12(a＋b)解析：如图所示，AE→＝AB→＋AC→，AE→＝2AD→，由此即可得到答案．答案：D点评：(1)用已知向量来表示未知向量，一般要用到平行四边形、三角形法则和平行向量的性质等运算技巧．(2)把“AD是△ABC的BC边上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝12()a＋b”作为结论记住，有较为广泛的应用．►跟踪训练2．如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若OA→＝a，OB→＝b，则OP→＝____________，OQ→＝______________(用a、b表示)．解析：OP→＝AP→－AO→＝13AB→＋OA→＝13OB→－OA→＋OA→＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b.OQ→＝AQ→－AO→＝23AB→＋OA→＝23OB→－OA→＋OA→＝13OA→＋23OB→＝13a＋23b.答案：23a＋13b13a＋23b例3如图，平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知AM→＝a，AN→＝b，试用a，b表示AB→和AD→.分析：可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用AB→、AD→来表示向量a、b，然后将AB→、AD→看做未知量，加以方程思想，以求AB→、AD→.解析：在平行四边形ABCD中，AC→＝AB→＋AD→.在△ADC中，M为DC的中点，AM→＝12AD→＋AC→，∴a＝12AD→＋AB→＋AD→.①在△ABC中，N为BC的中点，AN→＝12AB→＋AC→，∴b＝12AB→＋AB→＋AD→.②由①②解得AB→＝23()2b－a，AD→＝23()2a－b.点评：本题若利用向量的加减法法则，结合M、N为DC、BC中点的性质，可直接用a、b表示AB→和AD→，但有一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用AB→、AD→来表示向量a、b，然后将AB→、AD→看做未知量，加以方程思想，求得AB→、AD→，就容易多了．►跟踪训练3．如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设AD→＝a，AB→＝b，试用a，b为基底表示DC→，BC→，EF→.分析：AB→和AD→是两个不共线向量，可以看做是一组基底，一定可以把平面中的任一向量用AB→和AD→表示，关键是找到λ1和λ2两个系数．解析：连接FD，∵AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，∴DC綊FB，∴四边形DFBC为平行四边形，依题意，DC→＝FB→＝12AB→＝12b，BC→＝FD→＝AD→－AF→＝AD→－12AB→＝a－12b，EF→＝DF→－DE→＝－FD→－DE→＝－BC→－12DC→＝－a－12b－12×12b＝－a＋14b.题型3向量共线的其他表达形式例4设OA→、OB→不共线，P点在AB上，求证：OP→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1()λ，μ∈R.证明：∵P点在AB上，所以AP→与AB→共线，∴AP→＝tAB→()t∈R.∵OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋tAB→＝OA→＋tOB→－OA→＝()1－tOA→＋tOB→，令λ＝1－t，μ＝t，则有OP→＝λOA→＋μOB→，λ＋μ＝1()λ，μ∈R.点评：(1)解答本题的关键在于紧扣向量共线的条件得AP→＝tAB→()t∈R，然后转化为以O为始点的向量关系，化简得结论．(2)本题也可以看做是用OA→，OB→做基向量，根据平面向量基本定理得到OP→，如下跟踪训练题4.►跟踪训练4．设OA→、OB→不共线，AP→＝tAB→()t∈R，用OA→，OB→表示OP→.解析：∵AP→＝tAB→()t∈R，∴OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋tAB→＝OA→＋tOB→－OA→＝()1－tOA→＋tOB→.