模糊集合及应用 1

模糊集合及应用郑亚林[e-mail]@dgut.edu.cn东莞理工学院软件学院计算机科学与技术系智能信息技术研究中心2007-03-18模糊集合是模拟人脑日常思维方式的一种新思想，新方法和新工具。1965年，美国加州大学自动控制论专家L.A.Zadeh首次提出模糊集合（FuzzySet）的思想和方法。1973年，L.A.Zadeh首次提出模糊推理的基本框架。1974年，英国科学家E.H.Mamdani首次将模糊推理技术应用于工业自动控制并获成功。1980年代末至1990年代前半期，随着计算机技术的飞速发展，模糊控制技术得以广泛应用并获蓬勃发展。1990年代后半期至2000年代初，基于模糊推理的模糊控制在全球蔚为大观。同时有大批科学家，工程技术专家，和人文社会科学工作者，加入到开发模糊理论的行列，分别在各自的领域作出了很多优秀的工作。如今的模糊理论，已经发展成为包括模糊识别，模糊推理，模糊分类，模糊决策，模糊控制，模糊逻辑，模糊拓扑等众多分支的庞大理论体系，而且在应用上也取得了很大的成功。应当指出，模糊理论与应用虽已涉及很广的领域，但其方法是远不成熟的。我们在学习的过程中可以不断地尝试去改进它和完善它。模糊理论的目的在于从一种角度出发进一步开发人脑的智能和模拟人脑的思维方式。人脑的智能活动和思维方式，一方面是我们都很熟悉的，另一方面尚有许多运行机理还是我们人类自己所不认识的。所以，模拟人脑智能活动和思维方式，既是有科学价值和应用价值的极有吸引力的工作，又是富于挑战性的任务和十分艰难的工作。在这方面的点滴进步都是可贵的。本课程《模糊集合及应用》，是模糊理论的入门和导引，主要内容有第一章模糊集合第一节通常集合第二节模糊集合第三节模糊集合的运算第四节模糊集合的分解第五节模糊程度的度量第二章模糊识别第一节模糊集之间的距离第二节模糊集之间的贴近度第三节模糊识别的直接方法第四节模糊识别的间接方法第三章模糊分类第一节通常关系第二节模糊关系第三节模糊矩阵第四节模糊等价关系与模糊分类第五节模糊相似关系与模糊分类第六节模糊相似矩阵的确定第四章模糊推理第一节模糊推理的各种模型第二节简单模糊推理的Mamdani算法第三节多维模糊推理的Mamdani算法第四节多重模糊推理的Mamdani算法第五节多重多维模糊推理的Mamdani算法第六节CRI方案下模糊推理的其他算法第七节模糊推理算法的MP再现分析第八节3I方案下的模糊推理算法第五章模糊控制第一节模糊控制器的设计第二节目标跟踪系统的模糊控制第三节还原炉氢气流量的模糊控制第四节模糊逻辑的硬件实现教材及教学参考书：[1]陈水利，李敬功，王向公编著《模糊集理论及其应用》（第一章，第三章，第四章，第九章）科学出版社，2005年9月第一版。[2]徐宗本，张讲社，郑亚林编著，《计算智能中的仿生学：理论与算法》（第三部分）科学出版社，2003年5月第一版，2005年9月第二次印刷。第一章模糊集合第一节通常集合通常集合论域（讨论问题的范围）U＝{张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽}通常子集合（论域的一部分）A＝男生之集合＝{张三，李四，王五，赵六}B＝女生之集合＝{丁丽，刘丽，白丽}C＝东莞籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽}D＝惠州籍学生＝{王五，赵六，白丽}这里，A,B,C,D都叫做论域U的通常子集合，并记为AU,BU,CU,DU通常集合的运算交集合（两个子集合的共同部分）A∩C＝东莞籍男生＝{张三，李四}A∩D＝惠州籍男生＝{王五，赵六}B∩C＝东莞籍女生＝{丁丽，刘丽}B∩D＝惠州籍女生＝{白丽}通常集合的运算并集合（两个子集合的联合）E＝东莞籍男生＝{张三，李四}F＝惠州籍男生＝{王五，赵六}I＝东莞籍女生＝{丁丽，刘丽}J＝惠州籍女生＝{白丽}E∪J＝东莞籍男生与惠州籍女生之联合＝{张三，李四，白丽}F∪I＝惠州籍男生与东莞籍女生之联合＝{王五，赵六，丁丽，刘丽}通常集合的运算补集合（论域中去掉一个子集合后的剩余部分）C′＝非东莞籍学生＝{王五，赵六，白丽}D′＝非惠州籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽}通常集合及其运算通常集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素a要么属于集合A(记做aA),要么不属于集合(记做aA)，二者必居其一.通常集合及其运算一般地，通常集合有如下的表示法：(1)枚举法，A={a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z}；(2)描述法，A={x|P(x)}.AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.通常集合及其运算并集A∪B={x|xA或xB}；交集A∩B={x|xA且xB}；补集A′={x|xA}.通常集合及其运算论域U的所有子集所组成的集合称为U的幂集，记为(U).集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).通常集合的运算律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；通常集合的运算律分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪Ø=A，A∩Ø=Ø；还原律：(A′)′=A；对偶律：(A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′；排中律：A∪A′=U，A∩A′=Ø。第一章模糊集合第二节模糊集合第三节模糊集合的运算模糊集合(作为通常集合的推广)论域（讨论问题的范围）U＝{张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽}它是分明的！它是讨论问题的出发点。通常子集合（论域的一个部分）A＝男生的集合＝{张三，李四，王五，赵六}B＝女生的集合＝{丁丽，刘丽，白丽}C＝东莞籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽}D＝惠州籍学生＝{王五，赵六，白丽}它是分明的！张三百分之百属于集合C，赵六百分之百不属于集合C，毫不含糊!!!不容许说“张三十有八九属于这个集合”这样的话。模糊子集合（论域的一个模糊的部分）K＝高个子的集合＝？诸如此类的“集合”，大胖子的集合，学习好的学生的集合，能力强的学生的集合，…，如何表达？K＝高个子的集合＝？如果规定1.80米及以上为高个子，那么1.79米的人就相当委屈，1.78米的人就很委屈，1.77米的人就有点委屈，…。我们给论域U中每个元素x指定它隶属于这种集合K的程度（叫做x对K的隶属度），就可以比较好地描述和表达诸如此类的“集合”。模糊集合(作为通常集合的推广)论域（讨论问题的范围）U＝{张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽}模糊子集合（论域的一个模糊的部分）K＝高个子的集合＝{(张三，0.9)，(李四，1)，(王五，0.8)，(赵六，0.4)，(丁丽，0.6)，(刘丽，0.8)，(白丽，0.5)}模糊集合(作为通常集合的推广)论域（讨论问题的范围）U＝{张三，李四，王五，赵六，丁丽，刘丽，白丽}模糊子集合（论域的一个模糊的部分）L＝胖子的集合＝{(张三，0.93)，(李四，0.4)，(王五，0.88)，(赵六，0.9)，(丁丽，0.66)，(刘丽，0.7)，(白丽，0.4)}程度化地描写元素对集合的隶属关系，是模糊集合论的基本思想。模糊集合的运算模糊交运算K∩L＝又高又胖者集合＝{(张三，?)，(李四，?)，(王五，?)，(赵六，?)，(丁丽，?)，(刘丽，?)，(白丽，?)}赵六隶属于高个子集合的程度为0.4；赵六隶属于胖子集合的程度为0.9；这两个数字中取小0.4∧0.9＝0.4，作为赵六隶属于又高又胖者集合的程度。还可以采取其他的方案!!!比如取平均数，加权平均数，几何平均数等方案。但是模糊集合论的大多数应用者都采用Zadeh的取小方案。模糊集合的运算模糊交运算K∩L＝又高又胖者集合＝{(张三，0.9∧0.93)，(李四，1∧0.4)，(王五，0.8∧0.88)，(赵六，0.4∧0.9)，(丁丽，0.6∧0.66)，(刘丽，0.8∧0.7)，(白丽，0.5∧0.4)}＝{(张三，0.9)，(李四，0.4)，(王五，0.8)，(赵六，0.4)，(丁丽，0.6)，(刘丽，0.7)，(白丽，0.4)}模糊集合的运算模糊并运算K∪L＝或高或胖者集合＝{(张三，0.9∨0.93)，(李四，1∨0.4)，(王五，0.8∨0.88)，(赵六，0.4∨0.9)，(丁丽，0.6∨0.66)，(刘丽，0.8∨0.7)，(白丽，0.5∨0.4)}＝{(张三，0.93)，(李四，1)，(王五，0.88)，(赵六，0.9)，(丁丽，0.66)，(刘丽，0.8)，(白丽，0.5)}模糊并运算使用Zadeh的取大方案。(也可以有其他的方案)模糊集合的运算模糊补运算K′＝个子不高者集合＝{(张三，1－0.9)，(李四，1－1)，(王五，1－0.8)，(赵六，1－0.4)，(丁丽，1－0.6)，(刘丽，1－0.8)，(白丽，1－0.5)}＝{(张三，0.1)，(李四，0)，(王五，0.2)，(赵六，0.6)，(丁丽，0.4)，(刘丽，0.2)，(白丽，0.5)}模糊集合的运算模糊补运算L′＝算不上胖子者集合＝{(张三，1－0.93)，(李四，1－0.4)，(王五，1－0.88)，(赵六，1－0.9)，(丁丽，1－0.66)，(刘丽，1－0.7)，(白丽，1－0.4)}＝{(张三，0.07)，(李四，0.6)，(王五，0.12)，(赵六，0.1)，(丁丽，0.34)，(刘丽，0.3)，(白丽，0.6)}模糊集合的表示法模糊集合的简化表示法K＝高个子的集合＝{(张三，0.9)，(李四，1)，(王五，0.8)，(赵六，0.4)，(丁丽，0.6)，(刘丽，0.8)，(白丽，0.5)}K＝（0.9，1，0.8，0.4，0.6，0.8，0.5）模糊集合的表示法模糊集合的简化表示法K＝高个子之集合＝（0.9，1，0.8，0.4，0.6，0.8，0.5）L＝胖子之集合＝(0.93，0.4，0.88，0.9，0.66，0.7，0.4)K∩L＝又高又胖者集合＝(0.9，0.4，0.8，0.4，0.6，0.7，0.4)K∪L＝或高或胖者集合＝(0.93，1，0.88，0.9，0.66，0.8，0.5)K′＝个子不高者集合＝(0.1，0，0.2，0.6，0.4，0.2，0.5)L′＝算不上胖子者集合＝(0.07，0.6，0.12，0.1，0.34，0.3，0.6)现在，我们给模糊集合及其运算正式地下定义。模糊集合及其运算一般地，设U是论域（有限或无限），称一个映射A：U→[0,1]确定了论域U上的一个模糊子集A，映射A称为模糊子集A的隶属函数，数A(x)叫做论域U中的元素x对模糊子集A的隶属度，它表示元素x对模糊子集A的隶属程度。模糊集合及其运算使得A(x)=0.5的点x相对于A来说最具有模糊性。模糊集合及其运算如果对论域U中所有点x来说，当A(x)只取0或1时，模糊子集A就是通常子集。可见通常子集就是模糊子集的特殊情形；模糊子集就是通常子集的推广。模糊集合及其运算模糊相等：A=BA(x)=B(x)；模糊包含：ABA(x)≤B(x)；模糊并集：A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；模糊交集：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；模糊补集：A′的隶属函数为A′(x)=1－A(x)模糊集合的运算律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；模糊集合的运算律0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪Ø=A，A∩Ø=Ø；还原律：(A′)′=A；对偶律：(A∪B)′=A′∩B′，(A∩B)′=A′∪B′；模糊集合的运算律模糊集合的上述运算律与通常集合从形