浙江省2012届高考数学理二轮专题复习课件：第9课时 数列的基本运算和性质

1专题三数列22d2d1．等差数列的定义式和推论等差数列{an}⇔an-an-1=d(d为常数，n≥2，n∈N*)⇔2an=an+1+an-1(n≥2，n∈N*)⇔an=an+b(a=d，b=a1-d)⇔Sn=An2+Bn(A=，B=a1-)．2．等差数列的通项公式和前n项和公式及推论(1)an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*)，(1)nmnnaanmddmn，2111()(1)1()22222nnnaanndSnadnadn33．等比数列的定义式和推论等比数列4．等比数列的通项公式和前n项和公式及推论1111111()111111121nnnnnnnaaqssaqnNqaaqaqqqqqnaqnaq或211111(0)(2,).nnnnnnnnaaqqaaannNaaaq45．等差(比)数列的性质(1)在等差数列{an}中，若m+n=l+k⇒am+an=al+ak(反之不一定成立)，特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap；在等比数列{an}中，若m+n=l+k⇒aman=alak(反之不一定成立)，特别地，当m+n=2p时，有(2)若数列{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}是非零常数数列．2mnpaaa5(3)等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等差数列；等比数列中Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(其中)．(4)三个数成等差数列的设法：a-d，a，a+d；四个数成等差数列的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d；三个数成等比数列的设法：，a，aq；注意：四个数成等比数列的错误设法：，aq，aq3,.0msaqaq3aq6【例1】等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}的前20项和S20.求数列的和，可求出a1，d.1.基本运算7设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10=a62，即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.当d=0时，S20=20a4=200；当d=1时，a1=a4-3d=7，于是201201920207190330.2sad8数列问题转化到基本量a1，d，q是通法，但有时运算量较大，熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算．9【变式训练】等比数列{an}的前n项和为Sn，任意的点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y=bx+r(b0且，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b=2时，记，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.(1)Sn=bn+r，当n=1时a1=S1=b+r，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn-bn-1，因为{an}为等比数列，所以a22=a1a3，即(b2-b)2=(b+r)(b3-b2)，所以r=-1.1b(1)24nnnnba10111211321{}(1)2(1)2(1)212421(1)()2.242nnnnnnnnnnnababbbabbnnbnbnnnnbT由知，等比数列的公比为，，时，，所以，所以11【例2】(2010·浙江卷)设a1，d∈R，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S6·S5+15=0.(1)若S5=5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．求d的范围，先要列出a1，d的等量关系，然后应用判别式法或配方法产生不等式．2.性质运用121111665566511221222112,8.15051055810159156150010,4988153722.222,ssadadadadadadadaddsddasssd由已知得，所以因，所，解得故，所以即故取或以的值是13(1)第(1)问思路明确，只需结合已知条件直接用公式代入即可．(2)对于第(2)问，易得a1与d的关系式，只要抓住a1，d∈R，就易想到关于a1的二次方程，应用判别式法或配方法，产生不等式，求出d的范围．14【变式训练】已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)是等差数列，且a1=3，a3=9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：在已知条件下可以推出{an-1}是等比数列，进而可以求出an的通项公式，再用求和公式放缩完成不等式的证明．213211111.nnaaaaaa(1)设bn=log2(an-1)，由{bn}为等差数列，所以2log2(an-1)=log2(an+1-1)+log2(an-1-1)，由对数运算性质得(an-1)2=(an+1-1)(an-1-1)15311111121321221{}10211(1)22.2121211211111[1()]11112211.1222212122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnncacaqqaaaaaaaaaaaaaaq设，则是等比数列，其公比满足，且，所以，故得，证明：因为，所以，所以所以163.综合问题1124123121201()13(2011)11111111212nnnnnnnnnnnaaaaRanSaaaaSABSSSSaanABa已知公差不为的等差数列的首项为．设数列的前项和为，，，成等比数列．求数列的通项公式及；记，，当时【例】浙，试比较与江卷的大小．17对于(1)的破解主要是利用列方程求公差，从而实现求通项，求和的目的；对于(2)的破解一方面要利用裂项法，另一方面要利用等比数列求和公式，再运用作差法比较二者的大小，注意对参数进行分类讨论．124221421214211111111a011.122nndaaaaaaddaaaddaaandnaanannnaS因为，，成等比数列，设公差为，则，所以，，因为，所以，因此，18111112221212211()112111112(1)2231111112()22111121(1)(1)222221211[(1)]()112221CC21nnnnnnnnnnnnnnnnnSnannannnAannnaaaaaaBaanABanann因为，所以，，所以，所以，因为，因为110120000.nnnnnnnnnnnaABABaABAB，因此，若，则，所以；若，则，所以19数列问题的考查主要是等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用等方面的内容，重点的求和方法，如裂项法等需要熟练运用，对于渗及到含参问题比较大小，则需要结合分类讨论思想进行处理，避免忽视讨论而丢分．202*1112322()(20113)125.nnnnnnaaaaSnnaaaaaaN在数列中，，．若，，成等比数【变式训练列，求的值；求数列的通项公】月学军中学拟式模212322323614191232619.aaaaaaaaaaa由已知得，，所以，，因此有或，所以212*12111111121221122221(2)322121322(2)43223432732(2)2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSnnNaSnnaanananannaanaaannaaa因为，又，则有，，以上两式相减得，配凑后得，因此数列是一个以为首项，公比为的等比数列，则，因此，，所以2(27)321(2).(1)nnannnan221．关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量．2．要熟练掌握等差、等比数列判定的两种基本方法：定义法与等差(等比)中项法．