中考数学函数知识点讲解

莆田二中1中考数学二次函数知识点1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数2axy的图像与a的符号关系.①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.莆田二中2用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与x轴的交点莆田二中3二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系（3分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征（3分）1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0yx莆田二中4点P(x,y)在第二象限0,0yx点P(x,y)在第三象限0,0yx点P(x,y)在第四象限0,0yx2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上0y，x为任意实数点P(x,y)在y轴上0x，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx考点三、函数及其相关概念（3~8分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤莆田二中5（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数（3~10分）1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数bkxy中的b为0时，kxy（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征k0b0y0x图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。b0y0x图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。K0b0y0x图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小莆田二中6b0y0x图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数kxy有下列性质：（1）当k0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5、一次函数的性质，，一般地，一次函数bkxy有下列性质：（1）当k0时，y随x的增大而增大（2）当k0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kxy（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式bkxy（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。考点五、反比例函数（3~10分）1、反比例函数的概念一般地，函数xky（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质反比例函数)0(kxkyk的符号k0k0图像yOxyOx莆田二中7性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(kxky图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=xyxy。kSkxyxky,,。二次函数考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2acbacbxaxy是常数，，那么y叫做x的二次函数。)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将