1.2 行列式的性质与计算

厦门理工学院1.2-1.3性质和计算对角线法则1二阶与三阶行列式的计算知识回顾3n阶行列式的定义.2计算排列逆序数.4三角行列式的计算.厦门理工学院1.2-1.3性质和计算上（下）三角行列式次三角行列式111211122221221122123000000.00nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa1111212,1221222,1(1)2112212,1100000(1)0000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa厦门理工学院1.2-1.3性质和计算§1.2、1.3行列式的性质、行列式按行（列）展开厦门理工学院1.2-1.3性质和计算§1.2行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例三、小结厦门理工学院1.2-1.3性质和计算一、行列式的性质行列式称为行列式的转置行列式.TDD1、记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaaD2121nnaaannaaa2112TDnnaaa22112、性质1行列式与它的转置行列式相等（行列互换，行列式不变)1234132422厦门理工学院1.2-1.3性质和计算3、性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.以表示行列式的第i行，以表示第i列.交换i，j两行记作,交换i，j两列记作iricijrrijcc12343412224、推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有.0D,DD厦门理工学院1.2-1.3性质和计算第i行(或列)提出公因子k记作rik(或cik)性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘以此行列式.kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak2121112116、推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．5、厦门理工学院1.2-1.3性质和计算7、推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211.0厦门理工学院1.2-1.3性质和计算8、性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211则D等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD122211111122211111例如厦门理工学院1.2-1.3性质和计算9、性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaak例如以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上记作rikrj(cikcj)厦门理工学院1.2-1.3性质和计算二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．jikrrD3121514320111533例1计算厦门理工学院1.2-1.3性质和计算21431133132113210167201231211001080123121102111105D3121514320111533例1计算解D31215143201115333521c1c2r2r1r45r100816640211720864r2r300108001510r34r2r48r2005/203445rr40厦门理工学院1.2-1.3性质和计算61111例2计算3111131111131131DD3111131111131131DD解c1c2c3c466661311111311316c161111131111131131r2r1r4r1r3r10200000200206848厦门理工学院1.2-1.3性质和计算对D1作运算rikrj把D1化为下三角形行列式设为证nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110000kkkkaaaaD11111nnnnbbbbD11112例3证明DD1D2其中对D2作运算cikcj把D2化为下三角形行列式设为kkkkkpppppD0111111nnnnnqqqqqD0111112于是对D的前k行作运算rikrj再对后n列作运算cikcj把D化为下三角形行列式nnnnknkkkkqqqccccpppD1111111111000000故Dp11pkkq11qnnD1D2厦门理工学院1.2-1.3性质和计算(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值．三、小结行列式的5个性质厦门理工学院1.2-1.3性质和计算§1.3行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、关于代数余子式的重要性质四、小结厦门理工学院1.2-1.3性质和计算,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa例如3223332211aaaaa3321312312aaaaa3122322113aaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式厦门理工学院1.2-1.3性质和计算在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作nijaij1nija.Mij，记ijjiijMA1叫做元素的代数余子式．ija例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD44424134323114121123aaaaaaaaaM2332231MA.23M厦门理工学院1.2-1.3性质和计算,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA.个代数余子式对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别厦门理工学院1.2-1.3性质和计算定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1二、行列式按行（列）展开法则13221332118321313122312132111312111)()()(731251)()(厦门理工学院1.2-1.3性质和计算引理一个阶行列式D，如果其中第行（列）所有元素除外都为零，那么该行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．ijijAaDniijaija的情形，先看证1,jinnnnnaaaaaaa21222211100D121212121212()121,...()121,...(1)(1)nnnnnnjjjjjnjjjjjjjjjnjjjjDaaaaaa222()112(1)nnnjjjnjjjaaa=01111aM1111111111(1)aMaA厦门理工学院1.2-1.3性质和计算1111100jnijnnjnnaaaaDaaa1,2,1,Diii把的第行依次与第行第行第行对调得11,11,1,1001ijiiijinnnjnnaaaaDaaaijaija再看一般情形，此时厦门理工学院1.2-1.3性质和计算1,2,1,Djjj再把的第列依次与第列第列第列对调得111,1,11,,10011ijijijijinnjnjnnaaaaDaaaijannjnnjnijijiijjiaaaaaaa1,,11,1,1001ija厦门理工学院1.2-1.3性质和计算1111100jnijnnjnnaaaaDaaa中的余子式.ijM在余子式仍然是中的在行列式元素ijnnjnnjnijijiijijaaaaaaaaa1,,11,1,100ijaija1.ijijijijijDaMaA因此利用前面的结果，有厦门理工学院1.2-1.3性质和计算定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD2211ni,,2,1证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000厦门理工学院1.2-1.3性质和计算nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100ininiiiiAaAaAa2211ni,,2,1厦门理工学院1.2-1.3性质和计算推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.ji,AaAaAajninjiji02211证行展开，有按第把行列式jaDij)det(11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaaAaAaaaa）（jiAaAaAanjnijiji02211或厦门理工学院1.2-1.3性质和计算nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD212121112111考虑行列式行第j行第i相同DD与1仅有第j行不同，因此的第j行元素的1D代数余子式与D的第j行对应元素的代数余子式相同.按第j行展开即得1D将jninjijiAaAaAaD22111厦门理工学院1.2-1.3性质和计算ji02211jninjijiAaAaAa故01