1.2.1(2)单位圆与三角函数线(高中数学人教A版必修四).ppt

§1.2任意角的三角函数第一章三角函数人教A版数学必修4普通高中课程标准试验教科书目标要求1.了解三角函数线的意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.热点提示对三角函数线的理解是本节的难点.2.利用三角函数线求解简单的三角不等式.目标定位由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法1.单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).N1B'(0,-1)B(0,1)A'(-1,0)A(1,0)MP(cos,sin)yxO2.有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3OxAB3OA3OB练习：如图所示，角是第四象限角，试判断下列四个有向线段的值.OM=；MO=；MP=；PM=.x-xy-y2.有向线段OMxyP(x,y)的终边1-1思考：cosOM？yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.tanMPOMATyATOAx有向线段AT叫角α的正切线3.三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMTsinMP即：cosOM即：tanAT即：MP有向线段称为角的正弦线，OM有向线段称为角的余弦线，AT有向线段称为角的正切线，例1、作出的正弦线、余弦线和正切线..yPoM2π3AT解：在直角坐标系中作单位圆如图示2以x轴的正半轴为始边作出的角，3其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交点A作x轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点，sincos,OMAT222　＝MP,　　　　　　tan333,2的正弦线为MP,余弦线为OM正切线为AT3则实例剖析3π-4ATyPxoAMTx规律归纳1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线.α的终边αyxA(1,0)OPMTsinMPcosOMtanAT终边落在第二象限α的终边αyxA(1,0)OPMTsinMPcosOMtanAT终边落在第三象限α的终边αyxA(1,0)POMTsinMPcosOMtanAT终边落在第四象限α的终边αyxA(1,0)POα的终边αyxA(1,0)O三角函数线α的终边αOyxA(1,0)PMTPMTα的终边αyxA(1,0)OPMTMTsinMPcosOMtanAT例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。324332例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函数线得sin1sin1.5cos1cos1.5tan2tan3例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:;21sin⑴xOy-1-11121y角的终边PM1(2)sin;2)(]265,26[Zkkk-1xy11-1O例4:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21cos221x335Zkkk352,32变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.2123xOy-1-11166113234＜α≤62|k，或322k≤α＜342kZkk，6112Zkkkkk)6112,342322,62(小结：1.给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。2.三角函数线的位置：正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段AT3.特殊情况：①当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。②当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。三角函数线的具体作用:1.比较两个三角函数值的大小2.讨论三角函数的单调性（某象限，很方便）3.讨论三角函数方程的解4.讨论三角函数不等式的解用途思考应用4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析：(1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外．(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点．(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面．应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法．命题方向利用三角函数线解三角方程[例1]已知sinα＝12，求出角α的取值集合．[解析]已知角α的正弦值，可知MP＝12，则P点纵坐标为12.所以在y轴上取点(0，12)，过这点作x轴的平行线y＝12，交单位圆于P1、P2两点，则OP1、OP2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}，如图：规律总结：利用三角函数线求解sinα＝a这样的三角方程时，只需作直线y＝a与单位圆相交，连接原点和交点所得射线即为所求角α的终边位置．求解cosα＝a这样的三角方程时，需作直线x＝a与单位圆相交，连接原点和交点所得射线即为所求角α的终边．求解tanα＝a这样的三角方程时，需作直线y＝a与过点A(1,0)的单位圆的切线AT相交，交点为T，连接原点O与交点T，直线OT就是所求角α的终边位置．命题方向利用三角函数线解三角不等式[例2]利用单位圆，求使下列不等式成立的x的取值范围：(1)sinx≤12；(2)tanx≤1；(3)cosx≥22.[解析](1)如图所示，在0～2π内作出正弦值等于12的角：π6和56π.在图中所示的阴影区域内的每一个角x，其正弦值都满足sinx≤12，所以不等式sinx≤12的解集为：{x|5π6＋2kπ≤x≤136π＋2kπ，k∈Z}．(2)如图所示，在0～2π内作出正切值等于1的角：π4和5π4，则在图中所示的阴影区域内的每个角x(不包括终边在y轴上的角)均满足tanx≤1.所以所求的角x的集合为：{x|2kπ＋π2x≤5π4＋2kπ或－π2＋2kπx≤π4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－π2x≤kπ＋π4，k∈Z}．(3)如图所示，在0～2π内作出余弦值等于22的角：π4和7π4，则在图中所示的阴影区域内的每个角x均满足cosx≥22.所以满足cosx≥22的角的集合为：{x|2kπ－π4≤x≤2kπ＋π4，k∈Z}．利用三角函数线，求出θ的取值范围．(1)cosθ32________________________；(2)tanθ－1________________________；(3)sinθ≥－12__________________________.[答案](1)π6＋2kπ，11π6＋2kπ(k∈Z)(2)－π4＋2kπ，π2＋2kπ∪3π4＋2kπ，3π2＋2kπ＝－π4＋nπ，π2＋nπ(k∈Z，n∈Z)(3)(2kπ－π6，2kπ＋7π6)[解析]在单位圆中画出符合条件的角θ终边所在范围(用阴影表示)，根据图形写出θ的取值范围．(1)∵cosπ6＝cos11π6＝32，且cosθ32，∴由图所示θ的取值范围为π6＋2kπ，11π6＋2kπ(k∈Z)．(2)∵tan－π4＝tan3π4＝－1，且tanθ－1，∴由图所示θ的取值范围为－π4＋2kπ，π2＋2kπ∪3π4＋2kπ，3π2＋2kπ＝－π4＋nπ，π2＋nπ(k∈Z，n∈Z)．(3)由于sin(－π6)＝sin76π＝－12，则在坐标系中画出－π6和76π，确定α的终边位置．如图所示，作直线y＝－12交单位圆于A、B两点，则∠xOA＝7π6，∠xOB＝－π6.过在直线AB上方的圆弧上任一点P作PM⊥x轴于M，则MP＝sinα.则α的终边不能与直线AB下方的圆弧有交点，则有2kπ－π6≤α≤2kπ＋7π6(k∈Z)．即原不等式的解集是{α|2kπ－π6≤α≤2kπ＋76π，k∈Z}．[点评](1)中cosθ＝32对应的角θ的两条终边OA、OB，使cosθ32成立的角θ的终边所在区域为图中阴影部分，由逆时针旋转角变大知，OA取π6时，OB应取11π6而不是－π6，这是极易出错的地方，若改为cosθ32，则角θ终边所在区域应为