1.2.1任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数sinBCAABtanBCAACcosACAAB在直角三角形中锐角A的三角函数如何定义？acbcabABCabc上述定义只限于直角三角形中的锐角，而现在角的定义已经拓广到任意角，如:?315tan?150cos?120sin000ObaMPyx思考1：为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，在角α的终边上取一点P（a，b），那么，sinα,cosα，tanα的值分别如何表示？问题1.任意角的三角函数22barOPraOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)思考2：对于确定的角α，上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？OPMPsinOPOMcosOMMPtanMOYXP(a,b)，则若1rOPbaab以原点为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.思考3：为了使sinα，cosα的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？α的终边P(x，y)Oxysinycosxtan(0)yxxP(x,y)α的终边小问题1：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了与当α为锐角时的三角函数保持统一，你认为sinα，cosα，tanα对应的值应分别如何定义？对应关系，，都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数.sinycosxtan(0)yxx0,1AOyxyxP,﹒sinycosxtan(0)yxx注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数的定义都是一样。正切函数的定义域是正、余弦函数的定义域为R，kk,2|小问题2:在弧度制中，三个三角函数的定义域分别是什么？例1、求的正弦,余弦,正切的值2335sinyyxO53531123213,22P12x32y2135cosx335tanxy点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。32OxyP（x，y）M2332sin2132cos－332tan32)23,21(P分析：可得点，故求角的正弦、余弦和正切值。小问题3：若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，tanα对应的函数值分别等于什么？P(x，y)Oxy22sinyxy22cosxxytanyx设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广：例2已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P5)4()3(22OOP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx＼400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4,30P0MOyxMyxP,特殊角的三角函数:sincostan00101010角度角的弧度数00101321233222213231206030459018027036006342322不存在不存在问题2.三角函数符号与公式oxy的终边),(yxPrMxyoxy的终边),(yxProxy的终边),(yxProxy的终边),(yxPr?tancossin在各象限的符号问题、、xyosintancosxyory(1)sinαrx(2)cosαxy(3)tanαxyo全为+sincostan一全正二正弦三正切四余弦sintancosxyoxyoxyoxyo规律:小问题1：综上分析，各三角函数在各个象限的取值符号如下表：三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sincostan++++－－－－+－+－?sin)360sin(有关系吗与koxy的终边),(yxPrMxy终边相同的角与360kxykrxkryk)360tan()360cos()360sin(由三角函数的定义有cossintan结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等.小问题2：三角函数的诱导公式一:sin2sinkcos2cosktan2tank的角）。之间找出与它终边相同到（方法在的角的同一三角函数值到化为正切函数值，余弦正弦作用：可以把任意角的000036003600,,练习1：若sinα=sinβ，则角α与β的终边一定相同吗？练习2：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？2p2p可将求任意角的三角函数值，转化为求0～（或0°～360°)范围内的三角函数值.2p练习3：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？例2、确定下列三角函数值的符号：;250cos)1(o);4sin()2();672tan()3(o(4)tan3.例1:确定下列三角函数值的符号：711(1)cos;(2)sin(465);(3)tan12377(1)cos0.2112解：是第二象限的角，(2)-465=-2360+255-465sin(465)0.，即是第三象限的角，11511(3)233311tan0.3,即是第四象限的角，611tan3;49cos2;780sin1224cos)24cos(49cos2336tan)26tan()611tan(3解：)360260sin(780sin160sin23例2:求下列三角函数值：3、解答下列问题：(1)若，试指出所在的象限；(2)若在第三象限，判断的符号.sin(cos)cos(sin)tan0,sin00)cos(sincossin第三象限sincossincosxxyxx2、函数的值域是().2,4.2,0,2.2,0,2,4.4,2,0,2,4ABCD1、设角属于第二象限角,且，则角属于第象限角？sinsin222....ABCD一二三四BC当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．OMMP三角函数线：用有向线段的数量来表示。sin(yMPMPrOP正弦线)cos(xOMOMrOP余弦线)tan(yATATxOA正切线)yOxPMAT(1)作出角的终边，画单位圆;作三角函数线的步骤:(2)设α的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线,有向线段OM是余弦线;(3)设单位圆与x轴的正半轴交于点A，过点A作x轴的垂线与角α的终边(或其反向延长线)交于点T，则有向线段AT是正切线.yOxyOxyOxyOxPα终边MATPMAT正弦线余弦线正切线PPMATPMAT1注意：、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦函数、余弦函数、正切函数的几何意义。2、正弦线的起点在x轴上，正弦线与y轴平行；余弦线的起点在原点，余弦线在x轴上；正切线的起点在A（1，0）,正切线与y轴平行.3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与x轴或y轴的正方向相同时，对应的三角函数值为正值；与x轴或y轴的正方向相反时，对应的三角函数值为负值。-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21sin121y665Zkkk)652,62(-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:21cos221x335Zkkk352,32-1xy11-1OTA例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:1tan3Zkkk)2,4434Zkkk)23,43总结提升(1)本节是如何定义任意角的三角函数的?(2)你能写出各三角函数的定义域吗？(3)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?课本P15页1、2、3、5.练习：确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）250cos)672tan(4sin（2）因为=，而是第一象限角，所以；)672tan(48tan)483602tan(0)672tan(48（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos解：（3）因为是第四象限角，所以.404sin