单总体假设检验

第六章单总体假设检验第一节大样本假设检验一、大样本总体均值检验（n≥50)根据大样本的假定，样本均值X趋向于正态分布。),(~2nNx其中，—总体均值；2—总体方差；当2未知时，可用样本方差S2来代替，2S2，n—样本容量标准值：)10(~，NnSx统计量为：nsXZ0大样本均值假设检验(一)原假设为：H0：=0，研究假设H1单边：H1：0，双边：0或H1：0.(二)统计量)10(~0，NnxZ如果未知，可用S(三)拒绝域1.单边：ZZ(H1:0)ZZ(H1:＜0)Z–Z2.双边：Z2Z(H1:≠0)22例1：为了验证统计报表的正确性，作了共50人的抽样调查，人均收入结果有：X=871元，S=21元，问能否证明统计报表中人均收入=880元是正确的(显著性水平=0.05)解：依题意，可作如下假设H0：=880元H1：880元则有统计量nSxnxZ0003.35021880871Z因为=0.05,双端检验，查表得2Z=1.96而|Z|=3.031.96，所以拒绝原假设，即不能认为人均收入880元是正确的。例2、接上题，如果根据以上的样本资料，但却采用区间估计的方法，试问是否也能作出对原有假设H0：=880的判断？解：已知样本值：x=871元，S=21元1-=1-0.05=95%2Z=1.96可以计算出置信度为95%的区间估计值[，nZx2nZx2]=[871-502196.1,871+502196.1]=[871-5.82,871+5.82]=[865.18,876.82]如果总体均值为880元，则95%的置信区间应该包括880元。而现在区间没有包括，即出现了小概率事件，故推翻原假设。例3如果真实总体的=870元，求接受原假设H0：=880元时所犯第二类(纳伪)错误的值。解：根据原假设H0:=880(元)，S=21(元)，1-a=0.95，n=50，作x的分布图A,并求出接受域的临界值。18.874502196.18802X82.885502196.18802X同理，根据真实总体=870，作X的分布图(B)，于是对于真实总体=870元来说，样本均值X874.18的部分(阴影部分)都将误认为=880元接受域阴影部分的面积就是犯第二类错误的概率Z1=50218708.874=1.41Z2=59.5502187082.885=(z2)-(z1)0.5-(1.41)=0.5-0.4207=0.0793它表示，如果真实总体=870，而原假设为H0：=880的话那么，平均而言，每100次抽样中，将约有8次当作=880而被接受。二、大样本总体成数检验前面已谈到，定类的二分变量，当赋于以下的数值后：1qi=p~N(P,P(1-P)/n)0标准化：nppppZ)1(~N(0,1)大样本总体成数检验所用的统计量为：nppppZ)1(000有了统计量Z和显著性,可以类比总体均值的讨论，作如下归纳：1.原假设：H0：P=P0研究假设：单边H1:PP0或H1:PP0双边：H1:PP02.统计量：nppppZ)1(0003.拒绝域：单边：1.ZZ(H1:pp0)2.Z-Z(H1:pp0)Z–Z2.双边：Z2Z（H1:PP0）222Z2Z例：某地区成年人中吸烟占75%，经过戒烟宣传之后，抽样调查发现100名被调查的成人人中，有63人是吸烟者。问戒烟宣传是否收到了成效(=0.05)解：H0：P=0.75H1：P0.75nppppZ)1(000=77.20433.012.0100)75.01(75.075.010063=0.05-Z0.05=-1.65因为Z=-2.77-Z0.05=-1.65所以，否定原假设P=0.75，即可以认为戒烟宣传收到了成效，吸烟比例有所下降。P0.75(a=0.05)第二节小样本正态总体假设检验一、单正态总体的均值检验1.已知方差2，检验的统计量与步骤有：原假设：H0：=0研究假设：H1：0单边：H1：0或0统计量：znx0~N(0，1)拒绝域：单边：ZZ(H1:0)Z-Z(H1：0)Z–Z双边：:Z2Z或Z-2Z2.未知方差2原假设H0：=0研究假设H1：单边：H1：0H1：0双边H1：0统计量：t)1(~0ntnsx拒绝域：单边：tt(H1：0)t(n-1)t-t(H1：0)t(n-1)双边：tzt或t-2tt(n-1)22-2t2t例：已知初婚年龄服从正态分布，根据9个人的抽样调查有：x=23.5(岁)s=3(岁)问：是否可以认为该地区平均初婚年龄已超过20岁(a=0.05)解：H0：=20岁H1：20岁由于初婚年龄服从正态分布N(u,σ2)。其中σ2为未知，所以选用t分布5.393205.23nsuxt根据自由度K=9-1=8；=0.05，因此有临界值：t0.05(9-1)=1.86因为t=3.5t0.05(9-1)=1.86所以拒绝H0，接受H1，即可以认为该地区的平均初婚年龄已超过了20岁(=0.05)二、单正态总体方差检验在实际工作中，有时须检验总体的方差2。对于单正态总体，检验方差所用的统计量为自由度K=n-1的X2分布)1(~1222nxsn其中：S2—样本方差n—样本容量检验步骤有：1．原假设：H0：2=022．研究假设：H1:3．统计量x2=)1(~)1(2220nxsn4．拒绝域单边：X2X2(H1：202)或X2X21-(H1：202)双边：X2X22或X2X21-2(H1：202)22X2(1-2)X22例：某研究人员为了证实年级小学生智商(IQ)的标准差是小于15的(=15)，从总体中随机抽查了共30名学生，其结果有：平均智商x=105，样本方差S2=196，问该研究人员的看法能否被证实(=0.01)?解：H0：σ=15H1：σ15代入统计量27.2515196)130()1(2222SnX临界值：a=0.01k=30-1=29x2(1-0.01)(29)=14.3X2(29)0.01因为：x2=25.27X2(1-0.01)=14.3X2(29)0.01X2(1-0.01)=14.3所以接受H0、否定H1，即该研究人员的看法不能被证实(a=0.01)总结条件检验统计量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0z(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μ0z0z0正态总体σ2已知(n＜50)nXZ022ZZ总体均值的检验条件检验统计量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μ000nsxt00正态总体σ2未知(n＜50)总体均值的检验22条件检验统计量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0(2)H0：μ=μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ=μ0H1：μ＜μ0nxZ0nSxZ0总体不论正态与否n≥50σ2已知或未知总体均值的检验22条件检验统计量拒绝域H0、H1(1)H0：P=P0H1：P≠P022z(2)H0：P=P0H1：P＞P0(3)H0：P=P0H1：P＜P0zZ0zZ－02Z2Z0n≥50np≥5nq≥5nqpppZ000总体成数的检验