[高三数学]平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入

1．(2010·天津高考)i是虚数单位，复数3＋i1－i＝________.解析：3＋i1－i＝3＋i1＋i1－i1＋i＝2＋4i2＝1＋2i.答案：1＋2i2．(2010·陕西高考改编)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于第________象限．解析：因为z＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝1＋i1＋1＝12＋12i，所以对应点(12，12)在第一象限．答案：一解析：由(x＋i)(1－i)＝y得(x＋1)＋(1－x)i＝y，又因x，y为实数，所以有x＋1＝y1－x＝0，解得x＝1y＝2.答案：1,23．(2010·江西高考改编)已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为________．解析：设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则(z－2)2－8i＝(bi－2)2－8i＝(4－b2)－(4b＋8)i是纯虚数．∴4－b2＝04b＋8≠0，解得b＝2，∴z＝2i.4．已知复数z与(z－2)2－8i都是纯虚数，则z＝________.答案：2i解析：令z＝x＋yi，(x，y∈R)，则2x＝4，x2＋y2＝8，得x＝2，y＝2，或x＝2，y＝－2，不难得出z－z＝±i.答案：±i5．设z的共轭复数是z－，若z＋z－＝4，z·z－＝8，则z－z等于________．1．复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如的数叫复数，其中实部为，虚部为若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)aba＝c，b＝da＝c，b＝－db＝0a＝0，b≠0a＋bi(a，b∈R)内容意义备注复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫，y轴叫实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)实轴虚轴a2＋b22．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点与平面向量OZ(a，b∈R)是一一对应的关系．(a，b)3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝(c＋di≠0)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iac－bd＋(ad＋bc)iac＋bd＋bc－adic2＋d2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝．z2＋z1z1＋(z2＋z3)当实数m为何值时，z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．考点一复数的概念[自主解答](1)若z为纯虚数，则lgm2－2m－2＝0，m2＋3m＋2≠0.解得m＝3.(2)若z为实数，则m2－2m－2＞0，m2＋3m＋2＝0.解得m＝－1或m＝－2.(3)若z的对应点在第二象限，则lgm2－2m－2＜0，m2－2m－2＞0，m2＋3m＋2＞0.解得－1＜m＜1－3或1＋3＜m＜3.解：1若z为纯虚数，则m2＋5m＋6≠0，m2－m－6m＋3＝0，解得m＝3.2若z为实数，则m2＋5m＋6＝0，m＋3≠0，解得m＝－2.若将本例中的复数z改为“z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i”，如何求解？(3)若z对应的点在第二象限，则m2－m－6m＋3＜0，m2＋5m＋6＞0，即m＜－3或－2＜m＜3，m＜－3或m＞－2，∴m＜－3或－2＜m＜3.已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z为实数时，有a2－5a－6＝0，a2－1≠0，∴a＝－1或a＝6，a≠±1，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，有a2－5a－6≠0，a2－1≠0，∴a≠－1且a≠6，a≠±1，∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，a2－7a＋6a2－1＝0，∴a≠－1且a≠6，a＝6，∴不存在实数a使z为纯虚数．(1)(2010·全国新课标改编)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝________.考点二复数的代数运算(2)(2010·辽宁高考)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则a＝________，b＝________.[自主解答](1)∵z＝3＋i1－3i2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i＝3＋i－21＋3i＝3＋i1－3i－2×1＋3＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，∴z＝3＋i－4，∴z·z＝|z|2＝14.(2)由1＋2ia＋bi＝1＋i，得a＋bi＝1＋2i1＋i＝1＋2i1－i1＋i1－i＝1－i＋2i－2i22＝3＋i2＝32＋12i，∴a＝32，b＝12.[答案](1)14(2)32，12计算：－23＋i1＋23i＋(21＋i)2012＋4－8i2－－4＋8i211－7i.解：原式＝－23＋i1－23i12＋232＋[21＋i2]1006＋4－8i2－4－8i211－7i＝13i13＋(1i)1006＋0＝i＋(－i)1006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.考点三复数运算的几何意义复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[自主解答]法一：如图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，则AD＝OD－OA＝(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，BC＝OC－OB＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i，∵AD＝BC，∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，则x－1＝1，y－2＝－3，解得x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.法二：如上图，设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，则B，D关于O点对称，即(－2＋i)＋(x＋yi)＝0.∴x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.复数z＝1＋i3a＋bi1－i且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0、z、z对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．解：z＝1＋i2·1＋i1－i(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①∵复数0、z、z对应的点构成正三角形，∴|z－z|＝|z|.把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②又∵z对应的点在第一象限，∴－2a0，－2b0，∴a0，b0.③由①②③得a＝－3，b＝－1.故所求值为a＝－3，b＝－1.复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，并且这也是高考对本节内容考查的主要考向．[规范解答]原式＝－1＋3i1－2i1＋2i1－2i＝5＋5i5＝1＋i.[答案]1＋i[考题印证](2010·天津高考)i是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i＝________.1．复数的代数运算(1)复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质．(2)一些常用的结论①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n为整数．2．复数的几何意义(1)(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．(3)|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．1．(2010·安徽高考改编)已知i2＝－1，则i(1－3i)＝________.解析：i(1－3i)＝i－3i2＝3＋i.答案：3＋i.2．(2011·扬州模拟)给出下列四个命题：(1)若z∈C，|z|2＝z2，则z∈R；(2)若z∈C，z＝－z，则z是纯虚数；(3)z∈C，|z|2＝zi，则z＝0或z＝i；(4)若z1，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0.其中真命题的个数为________．答案：1解析：(1)真命题，|z|2＝z·z，所以z·z＝z2，所以z＝0或z＝z，故z∈R；(2)是假命题，假如z＝0时不成立；(3)是假命题，因为|z|2＝z·z＝zi，所以z(z－i)＝0，故z＝0或z＝－i；(4)是假命题，例如z1＝1，z2＝i时z1z2≠0，但|z1＋z2|＝|z1－z2|.3．(2011·西城模拟改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i.答案：2＋4i4．(2010·江苏高考)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．解析：∵z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝6＋4i2－3i，∴|z|＝2|3＋2i||2－3i|＝2.答案：25．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)，则a的取值范围是________．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi，由(1)知x0，y0，又z·z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴x2＋y2－2y＝82x＝a，即4(y－1)2＝36－a2，∵y0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，即a2≤36，－6≤a≤6，又2x＝a，而x0，∴a0，故－6≤a0，∴a的取值范围为[－6,0)．答案：[－6,0)6．复数z1＝3a＋5＋(10－a2)i，z2＝21－a＋(2a－5)i，若z－1＋z2是实数，求实数a的值．解：z－1＋z2＝3a＋5＋(a2－10)i＋21－a＋(2a－5)i＝(3a＋5＋21－a)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝a－13a＋5a－1＋(a2＋2a－15)i.∵z－1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.