第三章 光学成像系统的频率特性

第三章光学成像系统的频率特性习题[3.1]/一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数：211coscirc2rtrrl式中，22yxr，l为圆形衍射屏的半径。问：（1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2）给出此屏的焦距的表达式。（3）若用它做成像元件，有什么缺点？解：(1)此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：lyxeeyxtyxiyxi22circ414121,2222式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变换因子222yxfkie比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子lyx22circ表明，该屏具有半径为l的圆形孔径。(2)把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子221()2kixyfe作比较，便得相应的焦距，即对于2241yxie项，令12fk，则有021kf，相当于会聚透镜。对于2241yxie项，令12fk，则有021kf，相当于发散透镜。对于21这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为3f。(3)由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远（直接透射光）。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作光源，则在像面上可以看到严重的色散现象。附图3.1习题[3.1]图示[3.2]试由式（3.1.10）直接导出式（3.1.11）。解：令P(x,y）=1,将式（3.1.10）积分号内各指数因子展开，利用2df，消去'2'2()2kife后，有：'2'222''22''1112()()()()()22''222121(,)(,)kkkkiiiixyixydddffgxyefeeeedddddd22'2'2''221111()()2[()()]()2''22121[(,)]kxykiiiixydddfdffefeddeedddd令11,xyxyffdfdf并应用公式：2222()()2xyiiffixyFeee及缩放定理，有2222221111()[()()]()21212(,)(,)xykiidixyddfdffidgxyefeedddd221222()()2()21(,)dkxyixyixyiffffefeeddif221(1)()2()21(,)dkxyixyiffffefeddif再令''/,/xyfxffyf即得式（3.1.11）。[3.3]/用一束单位振幅的平面波垂直入射照明一个透镜。透镜直径为5cm，焦距为20cm，在透镜后面10cm的地方，以透镜轴为中心放着一个物体，其振幅透过率为：LyLxxfyxt,rect2cos121,0假定L=1cm,cmf/1000线,大致画出焦平面上沿x轴的强度分布，标出各个衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间的距离）的数值。解：/由附图3.2可知，物平面被照明光斑的直径为2.5cm。物体是一个正弦振幅光栅，其附图3.2习题[3.3]图示最大线度（对角线方向）为cm5.2cm22L，故物体可以被完全照明。后焦面上的复振幅分为：2222222001,,1sinc211sincsincsinc22ffffkixydfffkixyfdffffUxyeFtxyiddyfLeLidddLxxxLfLfddd强度分布为：020222222sinc41sinc41sincsinc2,dfxdLdfxdLdLxdLydfLyxIffffff这里因Lf20，故未考虑3个sinc函数间的重叠。代入题设数据，得：221(,)sin1010fffyIxyc223231111sinsin10sin1010410410fffxccxcx其中的单位取为cm。在x轴上两个一级分量中心离原点距离为：3010fxdfcm；零级分量第一个零点的位置为dL；两个一级分量与中央亮斑的的宽度相同，都是220,dcmL而其幅值只为零级分量的41。如附图3.3所示。附图3.3归一化强度分布[3.4]将面积为10mm10mm的透射物体置于一傅里叶变换透镜的前焦面上作频谱分析。用波长0.5m的单色平面波垂直照明，要求在频谱面上测得的强度在频率140线/mm以下能准确代表物体的功率谱。并要求频率为140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm,问该透镜的焦距和口径各为多少？解：取面积为mmmm1010的透射物体的对角线方向为x轴。因要求在140线/mm以下的空间频率成分不受到有限孔径的渐晕效应的影响，故透镜的口径D应满足条件：fDflD221022140①按题意，要求：212130;20;140ffffxxfxfx②综合式①、②求得：mm2.84;500Dmmf[3.5]/一菲涅耳波带片的复振幅透过率为：lrrrtcirc)sgn(cos1212如附图3.4所示。证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜，并确定这些焦距的大小。1-ll附图3.4习题[3.5]图示解：/由xsgn函数的定义可知：222221cos0221122sgncos3220cos02222rmrmrrmrm或或①式中m为整数。令2ru，显然上式是u的周期函数，周期为2，故可展成傅里叶级数：ninuneCucossgn2121其中，nndueCinun2sin2122遂有：nrinennr22sincossgn21212②上式表示一个方波函数，最后求得复振幅透过率为：nrinennlrcircrt22sin或以直角坐标表示成：nyxinennlyxcircyxt222sin,22③上式中的指数因子类似于透镜的位相变换因子，遂有：,5,3,12nnnkfn④换言之，可以把该衍射屏看作一个具有多重焦点的透镜，焦距由式④确定。当n偶数时（零除外），02sinnn，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中不包含n为偶数的成分。对于n为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当n取负值时，nf为正，是会聚球面波，它可得到实焦点；当n取正值时，nf为负，是发散球面波，它可得到虚焦点。[3.6]一物体的振幅透过率为一方波，如附图3.5所示，通过一光瞳为圆形的透镜成像。透镜的焦距为10cm，方波的基频是1000线/cm，物距为20cm，波长为410cm。问在以下两种情况下：（1）物体用相干光照明时；（2）物体用非相干光照明时；透镜的直径最小应为多少，才会使像平面上出现强度的任何变化？附图3.5习题[3.6]图示解：按题意，系统的截止频率应大于物函数的基频1f。遂得：(1)相干照明时，icdlf2。由透镜定律算得cmdi20。故由12fdlfic求得cmfdli421。(2)非相干照明时，,10fdlfi故求得cmfdli21。[3.7]一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是边长为l的正方形，若在光瞳中心嵌入一个边长为2l的正方形不透明屏，试画出0,0xfH的函数图像。解：由OTF的几何解释，有：000,0,xxffH式中0为光瞳面积，0,xf为光瞳重叠面积。2220432lll，光瞳重叠面积则应分5个区间来考察，参阅附图3.6。①0(3.6())4ixldfa见附图xixixixfldllfdllfdlf2343220,20001210,0,fffldffHxxixx②(3.6())42ixlldfb见附图xixixfldlllfdlf21220,200213232320,fflfdfHxxix③3(3.6())24ixldflc见附图443220,2lfdllfdllfxixix310,0xfH④3||4ixldfl(见附图3.6(d))2(,0)(||)||xixixflldfldlf004(,0)(1||/2)3xxHfff⑤lfdxi这时00,xf，从而00,0xfH。综合上述5个区间的情况，画出0,0xfH的函数图形如附图3.6(e)所示。附图3-6习题[3.7]图示[3.8]一个衍射受限成像系统，其出射光瞳是直径为l的圆，在出瞳面上用不透明的半圆嵌入光瞳，求此系统的0,0xfH和yfH,00的表达式。解：其他01arccos20,20lfdlfdlfdlfdfHxixixixix202222arccos120,0iyiyiyiyydfdfdfdflHflll其他[3.9]/改变一维理想透镜的光瞳函数，使它的振幅透过率从中心到边缘线性地从1减小到0，求这种透镜的光学传递函数。解：/设一维透镜的口径为a2，按题设其光瞳函数可写成:其他01axaxxP根据光学传递函数的计算式(3.4.23),得00ddxxixfPPPfdPfH其中aaaPPaaa32d12d1d0220xf的计算，可以分区间进行，如下所述(参看附图3.7)。附图3.7xf的计算①当afdxi0时00232d11d11d11d2132ixixixxixdfixixadfaixdfixixfPdfPdfdfaaaadfaadfdfaaa32043231afdafdfHiix②当afdaxi2