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1第二节一元二次不等式及其解法[备考方向要明了]考什么怎么考1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法．如2012年重庆T2等．2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围．3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识.[归纳·知识整合]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|xx1或xx2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[探究]1.ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0(a≠0)对一切x∈R都成立的条件是什么？提示：ax2＋bx＋c0对一切x∈R都成立的条件为a0，Δ0.2ax2＋bx＋c0对一切x∈R都成立的条件为a0，Δ0.2．可用(x－a)(x－b)0的解集代替x－ax－b0的解集，你认为如何求不等式x－ax－b0，x－ax－b≥0及x－ax－b≤0的解集？提示：x－ax－b＜0⇔(x－a)(x－b)0；x－ax－b≥0⇔x－ax－b，x－b≠0；x－ax－b≤0⇔x－ax－b，x－b≠0.[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知集合A＝{x|x2－160}，B＝{x|x2－4x＋30}，则A∩B＝()A．{x|－4x1}B．{x|－4x3}C．{x|－4x1或3x4}D．{x|1x4}解析：选C由x2－160，得－4x4，故A＝{x|－4x4}．由x2－4x＋30，得x3或x1，故B＝{x|x3或x1}．故A∩B＝{x|－4x1或3x4}．2．不等式x－3x－1≤0的解集为()A．{x|x1或x≥3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1x3}解析：选C由x－3x－1≤0，得x－x－，x－1≠0，解之得1＜x≤3.3．(教材习题改编)设二次不等式ax2＋bx＋10的解集为x－1x13，则ab的值为()A．－6B．－5C．6D．5解析：选C∵x＝－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，3∴－ba＝－1＋13即ba＝23.又－1×13＝1a，∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.4．(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．解析：∵方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(m＋1)2＋4m0，即m2＋6m＋10.∴m－3－22或m－3＋22.答案：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)5．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×40，即a216.∴a4或a－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法[例1]求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－30；(2)x2－4x－5≤0；(3)ax2－(a＋1)x＋10.[自主解答](1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝520，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－13，x2＝4＋13.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－13x4＋13}．(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，则原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a，或x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；4②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述，当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.若将本例(2)改为“x2＋4x＋5≤0”呢？解：∵Δ＝42－4×5＝16－20＝－40，∴不等式x2＋4x＋5≤0的解集为∅.———————————————————一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解．(2)对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)8x－1≤16x2；(2)x2－2ax－3a20(a0)．解：(1)原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，故原不等式的解集为R.(2)原不等式转化为(x＋a)(x－3a)0，∵a0，∴3a－a.5∴原不等式的解集为{x|3ax－a}．一元二次不等式的恒成立问题[例2]已知不等式mx2－2x－m＋10.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．[自主解答](1)不等式mx2－2x－m＋10恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x0，不符合题意．当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即m0，Δ＝4－4m－m，则m无解．综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围．设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，故f－，f，即－2x2－2x＋30，①2x2－2x－10.②由①，得x－1－72或x－1＋72.由②，得1－32x1＋32.由①②，得－1＋72x1＋32.∴x的取值范围为x－1＋72x1＋32.———————————————————恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选6谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．(3)一元二次不等式恒成立的条件①ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R)．②ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的充要条件是：a0且b2－4ac0(x∈R)．2．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ0，a－1，g－解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．一元二次不等式的应用[例3]某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围7内？[自主解答](1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－－，0x1，即－6000x2＋2000x0，0x1，解得0x13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．———————————————————解不等式应用题的步骤3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总和小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用通过计算得x－x20元．若能够保证选择A比选择B费用少，则x－x201.5x(0x17)，整理得x2－5x0，解得0x5，所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．81个防范——二次项系数中参数的取值二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况．2种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域.创新交汇——一元二次不等式与函数交汇问题1．一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查．2．解决此类问题可以根据一次、二次不等式，分式不等式，简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解，也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解．[典例](2012·浙江高考)设a∈R，若x0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.[解析]∵x0，∴当a≤1时，(a－1)x－10恒成立．∴[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0不可能恒成立．∴a1.对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x2x3，易知x20，x30.又当x0时，原不等式恒成立，通过y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1图象可知x1＝1a－1必须满足方程x2－ax－1＝0，即x1＝x3，代入解得a＝32或a＝0(舍)．[答案]32[名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题．9(2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的