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1第五节椭圆[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点考查内容，三种题型均有可能出现，如2012年山东T10等．2.直线与椭圆位置关系问题一直是高考的重点，多以解答题形式考查，难度相对较大，如2012年陕西T19等.[归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究]1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴2对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca，e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[探究]2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e＝ca越接近1，a与c就越接近，从而b＝a2－c2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：选D∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8，∴e＝ca＝22.2．已知F1，F2是椭圆x216＋y29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6B．5C．4D．3解析：选A根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．4解析：选A由题意知a2＝1m，b2＝1，且a＝2b，则1m＝4，得m＝14.34．若椭圆x216＋y2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．23B．25C．43D．45解析：选C把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝23，故焦距为2c＝43.5．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2×5－6＝4.答案：4椭圆的定义、标准方程[例1](1)已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC是周长是()A．23B．6C．43D．12(2)(2012·山东高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝1[自主解答](1)根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即43.(2)由离心率为32得，a2＝4b2，排除选项B，双曲线的渐近线方程为y＝±x，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A、C、D，知选项D正确．4[答案](1)C(2)D———————————————————用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)或x2b2＋y2a2＝1(ab0)；找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝m0，n1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又ca＝32，得c＝33，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x236＋y29＝1.答案：x236＋y29＝12．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有|PF1|＋|PF2|＝2a，①|PF1|·|PF2|＝18，②|PF1|2＋|PF2|2＝4c2.③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3.答案：3椭圆的几何性质及应用5[例2](2012·安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．[自主解答](1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3(x－c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B85c，－335c.所以|AB|＝1＋3·85c－0＝165c.由S△AF1B＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·165c·32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53.法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a.由S△AF1B＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.3－12B.5－126C.1＋54D.3＋14解析：选B根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F′，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，当且仅当AB过右焦点F′时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为x29＋y25＝1,所以c＝2，所以e＝ca＝23.答案：23直线与椭圆的综合[例3]如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．[自主解答](1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得＋c2＋1＝10，ca＝12，解得c＝1，a＝2.所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.7当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由y＝kx＋m，3x2＋4y2＝12消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，x1＋x2＝－8km3＋4k2，x1x2＝4m2－123＋4k2.所以线段AB的中点M－4km3＋4k2，3m3＋4k2.因为M在直线OP：y＝12x上，所以3m3＋4k2＝－2km3＋4k2.得m＝0(舍去)或k＝－32.此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，x1＋x2＝m，x1x2＝m2－33.所以|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝396·12－m2.设点P到直线AB距离为d，则d＝|8－2m|32＋22＝2|m－4|13.设△ABP的面积为S，则S＝12|AB|·d＝36·m－2－m2.其中m∈(－23，0)∪(0,23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋27－2＝0.8———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法5．(2013·洛阳模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝kx－13与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|＝4269，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)∵由题意知ca＝22，b＝1.由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝2，∴椭圆的方程为x22＋y2＝1.由y＝kx－13，x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－43kx－169＝0.Δ＝169k2－4(2k2＋1)×－169＝16k2＋6490恒成立．设A(x1，y1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝4kk2＋，x1x2＝－16k2＋，∴|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝4＋k2k2＋k2＋＝4269，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝±1.(2)证明：∵MA＝(x1，y1－1)，MB＝(x2，y2－1)，∴MA·MB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)9＝(1＋k2)x1x2－43k(x1＋x2)＋169＝－＋k2k2＋－16k2k2＋＋169＝0.∴不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.1个规律——椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔mn0；椭圆的焦点在y轴上⇔0mn.1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法