信息论与编码试卷及答案

一、（11’）填空题（1）1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。（2）必然事件的自信息是0。（3）离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。（4）对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。（5）若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为3。（6）对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是香农编码。（7）已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。（8）设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。（9）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关二、（9）判断题（1）信息就是一种消息。（）（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（）（3）概率大的事件自信息量大。（）（4）互信息量可正、可负亦可为零。（）（5）信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（）（6）对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。（）（7）非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。（）（8）信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。（）（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数.()三、（5）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则P(A)=0.25p(B)=0.5p(B|A)=0.75（2分）故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375（2分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit（1分）四、（5）证明：平均互信息量同信息熵之间满足I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：YXHXHyxpyxpxpyxpxpyxpyxpYXIXXYjijiYijiXYijijilogloglog;（2分）同理XYHYHYXI;（1分）则YXIYHXYH;因为XYHXHXYH（1分）故YXIYHXHXYH;即XYHYHXHYXI;（1分）五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：1）黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵XH；2）假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为，，，，求其熵XH。3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。解：1）信源模型为（1分）（2分）2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。（2分）由（4分）得极限状态概率（2分）（3分）3）119.02log)(121XH（1分）447.02log)(122XH（1分）12。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）六、（18’）.信源空间为1234567()0.20.190.180.170.150.10.01XxxxxxxxPX，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。14.3)(71iiilapL831.014.361.2)(LXHR七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1，并设41)(21)(41)(321xpxpxp，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，并计算相应的平均错误概率。1）（3分）最小似然译码准则下，有，2）（3分）最大后验概率准则下，有，八（10）.二元对称信道如图。1）若430p，411p，求XH、YXH|和YXI;；2）求该信道的信道容量。解：1）共6分符号/749.0|bitYXH2），（3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）九、（18）设一线性分组码具有一致监督矩阵110101100110111000H1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？2）求此分组码的生成矩阵G。3）写出此分组码的所有码字。4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）2）设码字012345CCCCCCC由TTHC0得0000135034012CCCCCCCCCC（3分）令监督位为012CCC，则有340451352CCCCCCCCC（3分）生成矩阵为101100110010011001（2分）3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）4）由TTHRS得101S，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）