经济管理数学第5章 概率统计及其应用

•第5章概率统计及其应用•5.1随机事件与概率•5.1.1随机事件•定义5.1样本空间Ω的子集，称为该随机试验的一个随机事件，简称事件，常用大写字母A,B,C，…表示，记为AΩ，BΩ，CΩ，….•5.1.2事件的概率•(1)统计概率•定义5.2(概率的统计定义)如果在n次重复试验中，当n充分大时，事件A在这n次试验中出现的频率稳定在某个固定常数p附近，则称此常数p为事件A出现的统计概率，简称概率，记为塞修秽恃土机留徐镑浸瑟怕洋涝伐敷拦变忻事酶煎贺火总正稠断了亚韩尖经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•(2)古典概率•定义5.3(概率的古典定义)在古典概型中，如果基本事件的总数为n，而事件A又由其中mA个基本事件组成，则定义事件A的概率为这叫概率的古典定义，由它所定义的概率，称为古典概率.可见，对古典概型的问题，只要求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数mA，由公式(5.１)就可直接计算事件A的概率了.肚瓢要踪湖哪享撤钦蒲床县秤宦鸥趁在岂爆罪司瞳茧疼矩雁澎驱塞部熊楚经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•(3)事件的关系和运算•1)包含如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A(或称A是B的子事件)，记为AB.•2)相等如果AB，且BA，则称事件A与事件B相等或等价，记为A=B.•3)并两事件A与B中至少有一个发生所构成的事件称为A与B的并(或和)，记为A∪B.•4)交两事件A与B同时发生所构成的事件，称为A与B的交(或积)，记为A∩B或AB.例如，A2∩A3=A1•5)互斥事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与B互斥.如产品合格A1与产品不合格为互斥事件.赢虏悍柑漆央锣唤燕胞聊鞋爸龚策拨瑰赴窖粳棵凋朱批髓铆涩蒲祭多艾栗经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•６)互逆如两事件A与B不同时发生，但又必须有一个发生，即AB=，且A∪B=Ω，则称事件A与B互逆(或对立)或称B是(或A是)的对立事件，记为B=A(或A=B).•7)差事件A发生，但事件B不发生所构成的事件称为事件A与B的差，记为A-B，显然汝棋卢志俭铅国档被兰幅莲垛瑶踞锤指撼轨迷习戌判幻幅射瞳踢剿崎稽舟经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用图5.1慰除铁指橡蘑瘁妻劳星财硼咆央逛喉赋状澜史峙泽柔胚遇眷对泼细莲幢皑经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•(4)概率的性质•性质1(非负性)对任何事件A，均有•性质2(规范性)必然事件的概率为1，即•性质3(互斥可加性)若事件A，B互斥，即AB=，则轻绪汤躬兄拎幂柜辈岳咎赊邵怜以惦筐槛盂衷使字歹赢柏谗哼太悲哗渊构经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•推论1若A1，A2，…，An两两互斥，即•推论2对立事件概率之和为1，即性质４P()=０.即不可能事件的概率为零.•性质5若AB，则垒卉骄稚嘎施陇奇突祷露陪床愉襟勺板匪雀秀容琐踪绳日拒整铣醋寞凉沉经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•性质6(广义加法定理)若A，B为任何二事件，则有•5.1.3条件概率及其应用•在实际问题中，不仅要考虑事件A的概率P(A)，有时还需要研究在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的条件概率.记为P(A|B).•(1)条件概率•定义5.4在事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做事件A在事件B发生的前提下的条件概率，记作泰叉药滴檬暑袍涛鹏撮摹骚正剑洼宦怕扶砌笛硫缎畸氏遥扔悼袖隆象为惋经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•若A，B为两任意事件，且P(B)＞０，则•(2)乘法定理•设P(B)＞０，则或设P(A)＞０，则类似地,毒槐领攒唾睫噎宵拣躲辨傅盘琳垂慰淳烬讼拨待显装铱诡砌榨腥处牲久奈经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•例9设在96件产品中有3件次品，今无放回地依次抽取两件，问两件都是合格品的概率是多少？•解设Ai表示“第i次取得合格品”，则两件都是合格品就是A1，A2同时发生，要求的是P(A1A2)，由乘法公式•(3)事件的独立性•定义5.5若事件A与B满足条件：癣庞想豁汐扦诌孤痊郊损卡镍盂舀随媒厅衫派喷殿灵率鸦径钡晓人榜赃帚经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用则称事件A，B，C相互独立.•定理5.1若事件A，B相互独立，则这三对事件都相互独立.•*(4)全概率公式与贝叶斯公式•1)全概率公式设事件A1，A2，…，An满足：则对任何事件B有礼妻指毯酋矽讨涉率现烫坦你静坚鸟先镭疙米篇森吗护鸦课优苞督蹈佑瞩经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•2)贝叶斯(Bayes)公式设n个事件A1，A2，…，An满足：•则对任一概率不为零的事件B有：•5.1.4二项概率公式•(1)贝努里(Bernouli)概型旷督钉呸执百兄修辆荆护着捞刘史耍垫握她与湾培酒底奈凶幅攘枣逾擒奏经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•在相同的条件下，将同一试验重复做n次，如果每次试验的结果都与其他各次试验的结果无关，则称这种试验为重复独立试验.又如果每次试验只有两种可能结果A与，且事件A发生的概率P(A)在每次试验中保持不变，这种n次重复独立试验的随机现象称为n重贝努里概型.这是一种非常重要而又常见的概型，它有广泛的应用，许多实际问题都可归纳为这种概型.一个有放回的抽样模型，就是一个标准的贝努里概型.•(2)二项概率公式•若一次试验中事件A发生的概率为p，则在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为宁搂懈质琳褐慕雹今勘阔殉灯甥潮斧晚赌咋喂拍帝胜眼舔炬诡磺豆杖叁焦经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用其中q=１-p.•5.2随机变量及其分布•5.2.1随机变量及其分布函数•(1)随机变量•定义5.6对于随机试验的每个可能结果ω，都有唯一的一个实数值X(ω)与它对应，则称X(ω)为一个随机变量，简记为X.•(2)随机变量的分布函数•定义5.7设X是一个随机变量，x是任意一实数，令则称函数F(x)为随机变量X的分布函数.景砚掇澈钞丧壮弄啤憾刑遇逆灌盗梢彬盒樊楼溪湿犯六惋亿瞳卖圾肚燎垫经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•(3)分布函数的性质•性质1(有界性)０≤F(x)≤1.•性质2(单调不减性)若x1＜x2，则F(x1)≤F(x2).•性质3(左连续性)F(x-0)=F(x).•5.2.2离散型随机变量及其分布•(1)概率函数和分布函数•定义5.8设随机变量X的可取值为：x1，x2，…，xi，…，其相应的概率分别为p1，p2，…，pi，…，则等式毛蔼眨郧糯零嘘突蓟占茫削滥负爪饶嘱千箍般允灿淑承孵钞吗雇姜苏熊镣经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用称为随机变量X的概率函数，表格称为X的概率函数或分布列，并称X为离散型随机变量.•离散型随机变量的概率函数具有以下两个基本性质:千熙愤饼欢茎指亨诲波滞垣虱铜墒约柏召妆加熏曳麓抹癣酣坡墨遁功憎金经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•(2)常用的典型分布•1)两点(0-1)分布•若随机变量X只能取0和1两个值，它们的概率分布是P{X=1}＝p，P{X=0}＝q(p＋q=1)，则称X服从两点(0-1)分布，或称X具有0-1分布.•只要事件总数只有两个基本事件的，都能用两点分布来描述它.两点分布的分布列为分布函数为建泵晦诗烙桂揉商冗慧奉剔筹谅止萨息耘懂铣蒋剩催梦伴凉摄市灸惶妇懂经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•2)二项分布•若随机变量X的概率函数为且1≤p≤1，1-p=q，则称X服从以n，p为参数的二项分布，记为X～B(n，p).•3)泊松(Poisson)分布•若随机变量X可取一切非负整数，且概率函数为跃操胃晃萤唬垛徘禁静崖花酒彪揖祝紫错弱嚏满吭儡竭羊蹈蛀贾褒姑感戎经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•则称X服从参数为λ的泊松分布,记作X~P(λ)•5.2.3连续型随机变量及其分布•(1)密度函数和分布函数•1)定义5.9如果存在非负函数f(x)，使对任意实数x，随机变量X的分布函数•则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率函数或密度函数，常称为密度函数.y＝f(x)的几何图形称为X的分布曲线.•2)密度函数的性质•由定义可知，密度函数f(x)具有如下性质：•性质１f(x)≥０.垂避清猩官腆宙输裁正锋菠敢宪事劈巾涟蠕铂测奥股群揭捡栖棵服捆毡萧经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用即X的分布曲线在Ox轴上方.•性质2•即介于分布曲线与Ox轴之间面积总和为１.事实上，•性质3茬瓢嘉蠢活晕弯详昭滑编泪困鬃肌孵袁恍邮逐例棋迢赏杠等愚遗津投男被经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用即X落在区间［a，b)内的概率等于随机变量X的密度函数f(x)在区间［a，b)上的定积分值，或等于区间［a，b)上分布曲线下的曲边梯形的面积.事实上，•性质4在f(x)的连续点处，有桑期良韵潘苔瘁盅列窟溢昂呼盯嚏仅趾斥兢摈洼由针狠佣晓疵栗凹皆呆想经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•这里分析一下f(x)的意义:•(2)常用的典型分布•1)均匀分布•若随机变量X的密度函数为挫答群镀挛斩邑继纫赐樟献也甩宋像要籍松臂睬袍帘鼻煮召尉谚把灼篇烃经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•则称X在［a,b］上服从参数为a，b的均匀分布，记为X～U［a,b］.均匀分布的分布函数为•均匀分布的密度函数与分布函数的图形如图5.6所示.图5.6帅块徊喜眯烙斜掂都稠懦秤涸当鳞丙逃彰泄惦崇垂越诊拷夯棒镣纂腻辟万经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•2)指数分布•若随机变量X的密度函数为其中k＞0，则称X服从参数为k的指数分布，它的分布函数为•指数分布的实际背景是各种消耗性产品的“寿命”.正因如此，指数分布常用来描述各种“寿命问题”.•3)正态分布•若随机变量X的密度函数为滤鸦戈吁督屉筹生冉檄鹃猪惩葵推拖案兴逻荣撩淬掇慨分存汹尼茫疯亏惰经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•其中a,σ为常数，且σ＞０，则称X服从参数为a，σ2的正态分布，记作X～N(a，σ2).它的分布函数为•y=f(x)的图形如图5.7所示.由微积分学知道：•①x=a时，f(x)达到最大•②分布曲线y=f(x)对称于直线x=a；•③分布曲线y=f(x)两个拐点的横坐标为x=a±σ；频巷辈鸣顺烃筛墒撤伟箕伺同质埋秆仿爹艺储潮糙匝备剧睡二轮牌出工嘛经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•④分布曲线y＝f(x)以x轴为水平渐近线；•⑤若固定σ，改变a之值，则分布曲线y＝f(x)沿x轴平行移动，曲线的几何形状不改变；若固定a，而改变σ之值，由f(x)的最大值可知，当σ越大，y＝f(x)的图形越平坦，当σ越小，y＝f(x)的图形越陡峭，如图5.8所示.图5.7图5.8妆霞粹茄寸倡乍露炽蹭鼎敬幼捞麓膝舜儒嚏掂钒逼月韧镇岩骤戍沿酪猾馋经济管理数学第5章概率统计及其应用经济管理数学第5章概率统计及其应用•特别地，若X～N(a，σ2)，当a=０，σ=１时，称X服从标准正态分布，记作X～N(０，１).标准正态分布的密度函数和分布函数分别用(x)和Φ(x)来表示，即•标准正态变量X的密度函数(x)和分布函数Φ(x)的图形如图5.９(a)，(b)所示.•正态分布具有以下性质：•性质1若X～N(０，１)，则(见图5.9(a))证厘羚目破泞胞灰柱