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第六讲杂题1.如图所示，小圆点表示网络的结点，结点之间连线表示他们有网线相连，数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点H传递信息，信息可以分开沿不同的线路同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是（）【分析】ABDH通过信息为4ABEH通过信息为3ACFH通过信息为5ACGH通过信息为5单位时间内传递的最大信息量是：4355172.在右图的乘法竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“好运北京”所代表的四位数的数字和是多少？【分析】“运”只能是0156， ， ， “奥运”的个位为8，所以0，5排除，若“运”是1，“奥”则是8，“奥运奥”为818648，后两位与08不符，所以1排除，“运”只能为6，则“奥”为3或8，经验证只有3符合题意，即36361296，所以“北京好运”为1296，各个数位数字和为183.下面的字母算式中，每一个字母代表一个数字，不同字母代表不同的数字，如果CHINA代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是？【分析】首先N是0,C是1,K是9,这个数能被24整除就同时能被3,4,8整除，所以后两位能4被整除，4A。I是偶数，4A排除，所以A=8A,4G。不同字母代表不同的数字，O只能为7、6、5。7O或5不符合条件，6O，2I，7H。17208CHINA。4.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面真题模考558147534612HGFEDCBA80□□□×北京好运运奥运奥运+CHINAKONGHONG是红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体。【分析】(1)如果只在一个面上分割，要想2个面被染色，需要把大长方体边上的和角上的去掉。拿掉625212（）（）块。剩下两个面的长方体6530块。（2）如果不是只在一个面上分割，那么就只有边上的两个面被染色。524（）（2-2）4+（2-2）4=12，所以两面的有：52220（块）所以，最少20块。5.在113这十三个数中选十二个数填在图中空格内，使每行四数之和相等，每竖列三数之和相等，应怎样填？【分析】1+2+3++13=91。这12个数之和必须能同时被3和4整除，所以12个数之和为84。91847。7没被选中。横行之和为28，竖行之和为21。因为12十二个数中有六奇六偶，竖列之和为奇数，必有一列为三个奇数。三个奇数的和为21的只有：191121351321，两组。答案如图。（行列可以互换）109131211685432110913121168543216.甲、乙、两三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业。若甲不再A校学习，乙不在B校学习，在B校学习的学数学，在A校学习的不学化学，乙不学物理。则三人各在哪所大学?学什么专业?【分析】B校学数学，A校不学化学，所以A校学物理，C校学化学。乙不在B校又不学物理，所以乙只能在C校学化学。甲不在A校，所以甲在B校学数学。剩下丙在A校学物理。7.某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是~AK。这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：A说：“有10个人。”B说：“有7个人”,C说：“有11个人。”D说：“有3个人。”E说：“有6个人。”F说：“有10个人。”G说：“有5个人。”H说：“有6个人。”I说：“有4个人。”那么，这个俱乐部的11个成员中，总说谎话的有几个人？【分析】因为9个人回答出了7种不同的人数，而且回答相同的最多是两个人。所以说谎话的不少于7个人。若说谎话的有7人，则B除外，其他回答问题的8人均说了谎话，与假设出现矛盾；若说谎话的有8人，则回答问题的9人均说了谎话，出现矛盾；若说谎话的有11个人，则没有说实话的，而C说了实话，出现矛盾。所以说谎话的有9人，回答问题的9人均说谎话，休息的两个人说的是实话。8.三个相邻偶数的积是一个六位数5****8，这三个偶数是【分析】三个偶数应该在8090之间，并且三个相邻的偶数各位数字只有是2、4、6的时候乘积的各位数字才可能是8。答案：82,84,86。9.一枚棋子放在七边形ABCDEFG（顶点按顺时针排列）的顶点A处。将这枚棋子按顺时针方向移动10次，移动规则是：第k次依次移动k个顶点（如第1次移一个顶点，停在B处；第2次移两个顶点，停在D处，……）。在10次移动过程中，所有没到过的顶点是________【分析】次数12345678910点位BDGDBAABDG所以没有到过C、E、F点。10.一个正方形的内部有2008个点，以正方形的4个顶点和内部的2008个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀？【分析】内部点数123910三角形个数4682022刀数47102831当正方形内部有n个点时，可以剪成22n个三角形，需要剪31n刀。共剪6025刀。【例1】一个乘法算式中，A、B、C、D表示不同数字：其中D=____________【分析】CCC，C可能为1、5、6，当C=1时，111ABAB。当C=6时，无论B等于多少66AB的后两位都不是6B。所以C=5。1,2AB或7，6D或8。【例2】侠客岛上有47个人：一类人是总说真话的骑士，另一类人是总说假话的骗子。这一天，全班同学围成一圈聚会，他们每人都声明：“我左右的两人是骗子”。第二天会议继续，但有一名同学因病未到，剩下的46人再次围成一圈，而且每人都声明：“我左右的两人都与我不是同类人”。问：有病的同学是骑士还是骗子?答案：。考点拓展ABCCDBC【分析】骗子说假话，所以他左右是骑士。骑士说真话，所以他左右是骗子。即骗子和骑士一个挨着一个坐。所以有病的同学是骑士。【例3】一种小型天平备有1克，3克，5克，7克，9克5种砝码，为了能称出1克到91克之间的任意一种整数克重量，如果只允许在天平一端放砝码，那么最少需要准备砝码个【分析】(1)表示2克需要两个1克砝码。（2）两个1克砝码和3克，5克，7克，9克各一个砝码可以表示126的所有数。（3）要想用的砝码数最少，增加砝码的重量就要最大。912665，65972所以还需要8个9克砝码。（4）最少要准备14个砝码，两个1克，九个9克，3克，5克，7克各一个。【例4】设点O是正30边形1A，2A，，30A内部一点，将整数1、2、3、…30任意标注在其30条边上。连接1OA，2OA，，30OA，也将整数1、2、3、…30任意标注在上边。问是否存在这样一种标注法，使得12AOA，23AOA，，301AOA各边上所标注的数字和相等？如果有，请写出。如果没有，请说明理由。【分析】（1）每个相临三角形公共边上的数字被用了两次，所有三角形的三边和就是3(1230)34651395，每个三角形的三边和为13953046.5，不是整数，所以不存在这样的标法。【例5】一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2,3,42007,2008一名裁判现在随意擦去其中的一个数，然后由小聪和小明轮流擦去其中的一个数（即小明先擦去一个数，小聪再擦去一个数，如此下去），若到最后剩下的两个数互质，则判小聪胜；否则判小明胜。问：小聪和小明谁有必胜策略？说明理由。【分析】小明有，只要小明一直取奇数，直到将奇数擦光，因为整个游戏当中，小明要擦1003个数，所以一定能将所有奇数擦光，因为剩下的两个偶数一定不互质。【例6】从1,3,5,,99这前50个奇自然数中，至少任取个数，其中必有两数是倍数关系。【分析】将1,3,5,,99这50个奇数按如下分组，构造13个抽屉：(1,3,9,27,81)；(5,15,45)；(7,21,63)；(11,33,99)；(13,39)；(17,51)；(19,57)；(23,69)；(25,75)；(29,87)；(31,93)；(35)；(37)；剩下的20个数，每一个数组成一个抽屉。一共33个抽屉。根据抽屉原理，至少任取34个数满足条件。1.将这十个数字中，选出六个填在下面方框中，使算式成立，一个方框填一个数字，各个方框数字不相同，问算式中的三位数最大的是什么数？【答案】105。和的前两位是1和0。两位数的十位是9。因此加数的个位最大是7和8。2.能否把2002台电话中的每台电话恰好与其他5台电话相连？【答案】我们可以把6个电话，或8个电话做到每台电话与5个电话相连接。我们可以把2002分成6个一组一共331组，8个一组的共2组。所以可以办到。3.在一条公路上，每隔100千米有一座仓库（如图），共有A、B、C、D、E5座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存放入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.5元，那么集中到座仓库总运费最少。【分析】集中到D仓库。（小往大靠）4.设a、b、c、d、e、f、g、h、i、k是十个不同的正整数，它们写成如图的形状。已知图中被两个箭头指向的数等于这两个箭头起点的数之和(如bae，gfi，……)。请问d的最小值是多少?试说明理由，并给出一种排法。【答案】33dcgbffiaehk，,,,aehk各不相同。要想d最小，3,3eh要越小越好。假设：1,2eh，则有：3f，4a，5b，8c，7k，9i，12g，20d。课后练习60吨10吨20吨30吨10吨EDCBAabcdefghik