家家学网络名师小班辅导教案-因式分解拓展篇

2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page1of13板块考试要求A级要求B级要求C级要求因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的方法进行代数式的变型，解决有关问题板块一：换元【例1】分解因式：2222(48)3(48)2xxxxxx考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。重、难点中考要求例题精讲第四讲因式分解拓展篇2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page2of13【例2】(“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12xxxx【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15xxxx【巩固】分解因式：22(1)(2)12xxxx【例3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】若x，y是整数，求证：4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.【例4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91aaa【巩固】分解因式22(32)(384)90xxxx【例5】分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)abababab【例6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272xx2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page3of13【巩固】分解因式：4444(4)aa板块二：因式定理因式定理：如果xa时，多项式1110...nnnnaxaxaxa的值为0，那么xa是该多项式的一个因式.有理根：有理根pcq的分子p是常数项0a的因数，分母q是首项系数na的因数.【例7】分解因式：32252xxx【巩固】分解因式：65432234321xxxxxx【巩固】分解因式：322392624xxyxyy【例8】分解因式：32()()xabcxabbccaxabc【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()lmxlmnxlmnxmn板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.即，如果12112112101210nnnnnnnnnnnnaxaxaxaxabxbxbxbxb那么nnab，11nnab，…，11ab，00ab.【例9】用待定系数法分解因式：51xx2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page4of13【巩固】421xx是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积?【巩固】631xx能否分解为两个整系数的三次因式的积?【例10】分解因式：43223xxxx板块四：轮换式与对称式对称式：xy、的多项式xy，xy，22xy，33xy，22xyxy，…在字母x与y互换时，保持不变．这样的多项式称为xy、的对称式．类似地，关于xyz、、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222222xyxzyzyxzxzy，xyz，…在字母xyz、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为xyz、的对称式．轮换式：关于xyz、、的多项式xyz，222xyz，xyyzzx，333xyz，222xyyzzx，222xyyzzx，xyz…在将字母xyz、、轮换(即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变．这样的多项式称为xyz、、的轮换式．显然，关于xyz、、的对称式一定是xyz、、的轮换式．但是，关于xy、，z的轮换式不一定是对称式．例如，222xyyzzx就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．【例11】分解因式：222()()()xyzyzxzxy【例12】分解因式：222222()()()xyxyyzyzzxzx2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page5of13练习1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3xxxxx练习2．要使1348xxxxm为完全平方式，则常数m的值为________练习3．分解因式：22(68)(1448)12xxxx练习4．分解因式：22222()4()xxyyxyxy练习5．分解因式：32252xxx练习6．分解因式：326116xxx练习7．用待定系数法分解：541xx练习8．分解因式：333()()()abcbcacab家庭作业2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page6of13板块一：换元【例13】分解因式：2222(48)3(48)2xxxxxx【解析】将248xxu看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)uxuxuxux22(48)(482)xxxxxx22(58)(68)xxxx2(2)(4)(58)xxxx【例14】(“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12xxxx【解析】方法1：将25xx看作一个整体，设25xxt，则原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)ttttttxxxx方法2：将252xx看作一个整体，设252xxt，则原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)ttttttxxxx方法3：将253xx看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25xx看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)xxxxxxxxxx2(51)xx.【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15xxxx【解析】2(2)(6)(810)xxxx【巩固】分解因式：22(1)(2)12xxxx【解析】2(1)(2)(5)xxxx【例15】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x、2x、3x、4x(1)(2)(3)(4)1xxxx[(1)(4)][(2)(3)]1xxxx22(54)(56)1xxxx例题精讲2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page7of1324652uxx原式22[(55)1][(55)1]1xxxx22(55)11xx22(55)xx【巩固】若x，y是整数，求证：4234xyxyxyxyy是一个完全平方数.【解析】4234xyxyxyxyy4423xyxyxyxyy22224(54)(56)xxyyxxyyy令2254xxyyu∴上式2422222(2)()(55)uuyyuyxxyy即4222234(55)xyxyxyxyyxxyy【例16】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91aaa【解析】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91aaaaaaaa设2215aax，原式2(6)91691(13)(7)xxxxxx22(228)(28)aaaa2(4)(27)(28)aaaa【巩固】分解因式22(32)(384)90xxxx【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90xxxxxxxx225yxx原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)yyyyyyxxxx【例17】分解因式：22224(31)(23)(44)xxxxxx【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44xxxxxx，故可设2231,23xxAxxB，则244xxAB.故原式=24()ABAB2A222()BABAB22222(31)(23)(232)xxxxxx.【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)abababab【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,abxaby，则原式=222(2)(2)(1)222xyxyxxyyyx222221()2()1(1)(1)(1)(1)xyxyxyababab【例18】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272xx【解析】设1322xxyx，则原式=4442(1)(1)2722(61)272yyyy422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)yyyyyyy2010年·暑假·短期班因式分解·第4讲·学生版page8of1322(5)(1)(419)xxxx【巩固】分解因式：4444(4)aa【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2xa4444(4)aa444(2)(2)4xx22224(44)(44)4xxxx422(2416)256xx422(24144)xx222(12)x222[(2)12]a222(416)aa板块二：因式定理因式定理：如果xa时，多项式1110...nnnnaxaxaxa的值为0，那么xa是该多项式的一个因式.有理根：有理根pcq的分子p是常数项0a的因数，分母q是首项系数na的因数.【例19】分解因式：32252xxx【解析】02a的因数是1，2，2na的因数是1，2．因此，原式的有理根只可能是1，2(分母为1)，12．因为(1)21526f，(1)21520f，于是1是()fx的一个根，从而1x是()fx的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式2(232)(1)xxx(2)(21)(1)xxx【点评】观察，如果多项式()fx的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，则说明(1)0f；如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，则说明(1)0f.【巩固】分解因式：65432234321xxxxxx【解析】本题有理根只可能为1.1当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1是根，所以原式有因式1x，原式5432(1)(221)xxxxxx容易验证1也是5432221xxxxx的根，5432221xxxxx42(1)(21)xxx22(1)(1)xx，所以65432234321xxxxxx222(1)(1)xx【巩固】分解因式：322392624xxyxyy【解析】322392624xxyxyy(2)(3)(4)xyxyxy【例20】分解因式：32()()xabcxabbccaxabc