椭圆的简单几何性质系列

椭圆的简单几何性质1椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c的关系焦点位置的判断122(220)MFMFaacF1(-c,0)，F2(c,0)F1(0,-c)，F2(0,c)椭圆分母看大小焦点随着大的跑22200(,)acbacab222210xyabab222210yxabab12yoFFMx1oFyx2FMcabM复习：椭圆及其标准方程椭圆简单的几何性质范围：,122ax得：122by-a≤x≤a,-b≤y≤b椭圆落在x=±a,y=±b组成的矩形中（如图）oyB2B1A1A2F1F2cab1.观察：x,y的范围？2.思考：如何用代数方法解释x,y的范围？-a≤x≤a,-b≤y≤b一.范围二、椭圆的顶点22221(0)，xyabab在中令x=0，得y=？，说明椭圆与y轴的交点（），令y=0，得x=？,说明椭圆与x轴的交点（）。*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。焦点总在长轴上!三.椭圆的对称性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；把(X)换成(-X),(Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆关于()对称；YX原点所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x练习：根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1B1A2B2B2A2B1A1四、椭圆的离心率ace离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。[1]离心率的取值范围：1）e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁因为ac0，所以0e1[2]离心率对椭圆形状的影响：2）e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆3）特例：e=0，则a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）yOx标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab-a≤x≤a,-b≤y≤b关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea知识归纳a2=b2+c2)0(ba，标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2)0(baa2=b2+c2)0(ba)5,0(),5,0(21FF例题1:求椭圆9x2+4y2=36的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。椭圆的长轴长是:离心率:焦点坐标是:四个顶点坐标是:)3,0(),3,0(),0,2(),0,2(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=62b=435ace解题步骤：1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：2、确定焦点的位置和长轴的位置.解：把已知方程化成标准方程19422yx四、例题讲解：549,2,3cba练习:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标。解：把已知方程化成标准方程1452222yx31625,4,5cba椭圆的长轴长是:离心率:6.053ace焦点坐标是:)0,3(),0,3(21FF四个顶点坐标是:)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA椭圆的短轴长是:2a=102b=8例2:求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；22194xy22194xy解：⑴方法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以椭圆的标准方程为方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故a＝3，b＝2，所以椭圆的标准方程为（2）离心率为，经过点（2,0）23练习：椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置椭圆的标准方程为：；11422yx椭圆的标准方程为：；116422yx解：（1）当为长轴端点时，，，2a1b02，A（2）当为短轴端点时，,，2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是或11422yx116422yx椭圆的简单几何性质2标准方程范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a、b、c的关系22221(0)xyabab关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea22221(0)xyabba(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为a,短半轴长为b.(ab)cea-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2)0(baa2=b2+c2)0(ba二.离心率的常见题型及解法题型一：定义法例1.已知椭圆方程为+=1，求椭圆的离心率；162x82y1.直接算出a、c带公式求eF2(c,0)xoyF1(-c,0)Pca2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值3.已知a2、c2直接求e2变式训练1：•若椭圆+=1的离心率为1/2，求m的值.222cea29x29ym4.已知a2、b2不算c直接求e221bea题型二：方程法例2.依据a,b,c,e的关系，构造关于a,c,的齐次式，解出e即可，但要注意椭圆离心率范围是0e1F2(c,0)xoyF1(-c,0)A60°已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1=60°，求该椭圆的离心率。(2009·江西高考)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13高考链接x60°p1F2F(2010·武汉调研)如图3，已知A、B两点分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若AB→·BF→＝0，则椭圆C的离心率e＝________.三：向量法之垂直问题变式训练椭圆+=1(ab0)的三个顶点为B1(0，-b)，B2(0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且B1F⊥AB2,求该椭圆的离心率。22ax22byB2(0，b)B1(0，-b)A(a,0)F(c,0)xoy练习2：已知一椭圆的短轴长与焦距长相等，求椭圆的离心率。五.小结1.知识点：求离心率的两种常规方法：（1）定义法:求a,c或a、c的关系；（2）方程法:根据题上的相等关系，构造关于a,c的齐次式，解出e.2.思想方法：方程的思想，转化的思想高考链接（2012新课标全国卷）设F1和F2是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，求该椭圆的离心率。22ax22bya23F2(c,0)xoyF1(-c,0)x=3a/2P30°2c2cc2c=3a/2六.课后练习2.设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为△F2PF1等腰直角三角形，求椭圆的离心率.1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距长成等差数列，求该椭圆的离心率.3.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2=60°，求该椭圆的离心率。1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率，长轴长为6，则椭圆的方程为（）32e120y36x2215y9x2215922xy120y36x221203622xy(A)(B)(C)(D)15y9x22或或C2.若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________已知椭圆的离心率，求的值19822ykx21ek21e4k由，得：解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．82ka92b12kcx当椭圆的焦点在轴上时，，，得．92a82kbkc12y21e4191k45k由，得，即．∴满足条件的或．4k45k练习2：已知椭圆的离心率，求的值）（111522kkykx21ekF1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．练习3：例4：点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹。42554xyoFMlF1l’(椭圆的第二定义)准线方程：cxa2解：如图，设d是点M到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：由此得：222,xcycaaxc22222222()().acxayaac22221(0).xyabab这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到定直线的距离比是常数2:alxc(0).caca求M点的轨迹。{|MFcPMda平方，化简得：222,:acb令可化得若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.MFHl新知探究动画第二定义直线叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是OxyF2F1新知探究2axc2axc2axc2axc椭圆的准线与离心率离心率：椭圆的准线：2axc2222:1(0)yxabab思考又如何呢?ceaoxyMLL’FF’离心率的范围：01e相对应焦点F（c,0），准线是：相对应焦点F（-c,0），准线是：2axc2axc1.基本量:a、b、c、e、几何意义：a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线），准线222bacace焦点总在长轴上!课堂小结ca2ca2-—准线例1椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则:点P到左焦点的距离为()A.14B.12C.10D.81002x362y例2(2011·衡水中学调研卷)(1)椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则P点到左准线的距离是________．•【答案】6【解析】a＝2，b＝3，c＝1，e＝12∵|PF1|＝3|PF2||PF1|＋|PF2|＝4∴|PF1|＝3|PF2|＝1∴P到左准线距离d＝|PF1|e＝6.练习．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e＝22，点F2