椭圆知识点总结与测试

聚焦考向透析1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想．聚焦考向透析【知识梳理】1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫．这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集．2a＜2c椭圆焦点焦距2a＞2c2a＝2c聚焦考向透析2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围≤x≤≤y≤－b≤x≤b－a≤y≤ab－aa－b聚焦考向透析对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为；短轴B1B2的长为焦距|F1F2|＝离心率e＝ca∈性质a，b，c的关系c2＝a2－b22a2b2c(0,1)聚焦考向透析【基础自测】1．(教材改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.x29＋y216＝1B.x225＋y216＝1C.x225＋y216＝1或x216＋y225＝1D．以上都不对解析：∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.答案：C聚焦考向透析2．(教材改编)椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．12答案：C聚焦考向透析3．(2013·合肥月考)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.答案：D聚焦考向透析4．(教材改编)已知椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值为________．答案：3或2535．(教材改编)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为________．答案：16聚焦考向透析◆一个统一椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系是统一的，给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.◆两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．聚焦考向透析聚焦考向透析考向一椭圆的定义及标准方程(1)(2013·徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.(2)(2011·高考江西卷)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．聚焦考向透析【审题视点】(1)从题目中关注△PF1F2面积的表示以及椭圆的两焦点与椭圆上的点组成的三角形的性质，结合定义求解．(2)利用a，b，c的意义，求c和b和a的值．【解析】(1)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，∴S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，∴b＝3.聚焦考向透析(2)∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c＝1.设P1，12，则kOP＝12，∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0,2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为x25＋y24＝1.【答案】(1)3(2)x25＋y24＝1聚焦考向透析1．(2013·惠州调研)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.x24＋y29＝1B.x29＋y24＝1C.x236＋y29＝1D.x29＋y236＝1聚焦考向透析解析：依题意设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.故选C.答案：C聚焦考向透析考向二椭圆的几何性质及应用(1)(2013·成都二模)已知A、B分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，C(0，b)，直线l：x＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，若∠DBP＝π3，则此椭圆的离心率为()A.12B.22C.29D.63聚焦考向透析(2)(2013·陕西西工大附中第三次适应性训练)已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点的坐标为(3,0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值为________．【审题视点】(1)通过Rt△DBP，寻求a，b，c之间的等式关系，e＝1－ba2.(2)利用椭圆的长轴端点求|PA|min.聚焦考向透析【解】(1)如图所示，由已知得A(－a,0)，B(a,0)，C(0，b)，D(2a,0)．设P(2a，y0)，∵A、C、P共线，∴kAC＝kAP，即ba＝y03a，∴y0＝3b，∴P(2a,3b)．又∵∠DBP＝π3，且tan∠DBP＝DPBD，∴3＝3b2a－a，∴ba＝33，∴e＝ca＝1－b2a2＝1－13＝63.聚焦考向透析(2)由|AM→|＝1，A(3,0)知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM→·AM→＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，∴PM为⊙A的切线，连结PA(如图)，则|PM→|＝|PA→|2－|AM→|2＝|PA→|2－1，∴当|PA→|min＝a－c＝5－3＝2时，|PM→|min＝3.【答案】(1)D(2)3聚焦考向透析【方法总结】(1)椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．聚焦考向透析2．(2013·长春二模)在以O为中心，F1、F2为焦点的椭圆上存在一点M，满足|MF1→|＝2|MO→|＝2|MF2→|，则该椭圆的离心率为()A.22B.33C.63D.24聚焦考向透析解析：不妨设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，过点M作x轴的垂线，交x轴于N点，则N点坐标为c2，0.设|MF1—→|＝2|MO→|＝2|MF2—→|＝2t(t＞0)，根据勾股定理可知，|MF1—→|2－|NF1—→|2＝|MF2—→|2－|NF2—→|2，得到c＝62t，而a＝3t2，则e＝ca＝63，故选C.答案：C聚焦考向透析考向三直线与椭圆的位置关系(2012·高考安徽卷)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．聚焦考向透析【审题视点】(1)此题关键是求Q点坐标来待定a，b，c.(2)利用方程组思想求PQ与椭圆的交点．【解】(1)(方法一)由条件知，P－c，b2a，故直线PF2的斜率为kPF2＝b2a－0－c－c＝－b22ac.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝2acb2x－2ac2b2，故Qa2c，2a.由题设知，a2c＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.聚焦考向透析(方法二)：设直线x＝a2c与x轴交于点M，由条件知，P(－c，b2a)．因为△PF1F2∽△F2MQ，所以|PF1||F2M|＝|F1F2||MQ|，即b2aa2c－c＝2c|MQ|，解得|MQ|＝2a.所以a2c＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.聚焦考向透析(2)证明：直线PQ的方程为y－2ab2a－2a＝x－a2c－c－a2c，即y＝cax＋a.将上式代入x2a2＋y2b2＝1得x2＋2cx＋c2＝0，解得x＝－c，y＝b2a.所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．聚焦考向透析【方法总结】(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤：第一步：联立直线方程与椭圆方程；第二步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法聚焦考向透析3．(2013·石家庄二模)点P为圆O：x2＋y2＝4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l经过定点(0,2)，且与曲线C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则D(x0,0)．由题意可得x＝x0，y＝12y0，解得x0＝x，y0＝2y，代入x2＋y2＝4中，得x24＋y2＝1，故曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且方程为x24＋y2＝1.聚焦考向透析(2)依题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋2，由x2＋4y2＝4，y＝kx＋2消去y整理得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－4(4k2＋1)×12＝16(4k2－3)，由Δ＞0，得4k2－3＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－16k4k2＋1，x1x2＝124k2＋1.|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].聚焦考向透析＝1＋k2－16k4k2＋12－4·124k2＋1.①原点O到直线l的距离d＝|2|1＋k2.②由三角形的面积公式及①②得S△OAB＝12×|AB|×d＝44k2－31＋4k22＝44k2－34k2－32＋84k2－3＋16聚焦考向透析＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.聚焦考向透析(2012·高考陕西卷)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB→＝2OA→，求直线AB的方程．【解题指南】(1)求出C1的长短轴及离心率，求C2.(2)设出AB所在方程，利用A、B点的关系待定斜率．椭圆方程及性质问题的规范解答聚焦考向透析【解】(1)由已知可设椭圆C2的方程为y2a2＋x24＝1(a＞2)，其离心率为32，故a2－4a＝32，则a＝4，2分故椭圆C2的方程为y216＋x24＝1.4分(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB→＝2OA→及(1)知，O