椭圆知识点总结附练习题

椭圆知识点总结椭圆的定义：平面内一动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.椭圆的标准方程1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac；2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2）在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c椭圆的简单几何性质:椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质1.对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形；以原点为对称中心的中心对称图形2.范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。3.顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；（2）)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；5,通径：（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为ab22.6,设21FF、为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，当21FFP、、三点不在同一直线上时，21FFP、、构成了一个三角形——焦点三角形.两种椭圆标准方程的区别和联系：椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意：椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(ba和)10(eace，222cba；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法：1，求椭圆方程的常用方法（1）待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；（2）定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。3，方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCyACx，所以只有CBA,,同号，且BA时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。4，焦点三角形21FPF（P为椭圆上的点）有关的计算问题令212211,,PFFrPFrPF;常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式sin212121rrSFPF相结合的方法进行计算解题。（此处信息量较大）将有关线段2121,,FFrr，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21rr，21rr之间的关系.maxS的最大值为bc；5，椭圆的扁圆程度与离心率的关系离心率)10(eace，因为222bac，0ca，即)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。6，点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab7，直线与椭圆的位置关系：若直线ykxb与圆锥曲线12222byax)0(ba相交于两点),(),,(2111yxByxA，将直线方程联立曲线方程可得：0)(2)(22222222bmamkxaxbka))((4)2(22222222bkabmamka（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；8，椭圆的切线方程(1)椭圆12222byax)0(ba上一点00(,)Pxy处的切线方程是12020byyaxx.（2）过椭圆12222byax)0(ba外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是12020byyaxx9，弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线12222byax)0(ba相交于两点),(),,(2111yxByxA，则AB＝2121kxx＝21211yyk；若弦AB所在直线方程设为xkyb，则AB＝2121kyy.11212xxk。注意：要注意两种直线方程的应用时的优缺点（详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用）10，中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解抓住两点：中点坐标，弦所在直线斜率设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，线段AB的中点为),(00yxM，则由1221221byax，1222222byax将两式相减2212122121))(())((byyyyaxxxx)()(2122122121yyaxxbxxyy（1）斜率问题：)()(212212yyaxxbkAB；（2）弦中点轨迹问题时：02020202212122yaxbyaxbxxyy，即0202yaxbkAB；（3）要注意：00xykOM；（4）直线AB的方程:)(002020xxyaxbyy；（5）线段AB的垂直平分线方程：).(002020xxxbyayy椭圆的几何性质练习一，椭圆的几何性质的简单运用1，已知椭圆)0()3(22mmymx的离心率23e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标。2，求与椭圆369422yx有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程。3，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点21,FF在x轴上，离心率为22。过1F的直线l交C于BA,两点，且2ABF的周长为16，求C的方程。二，求椭圆的离心率1，已知椭圆的中心在原点，焦点21,FF在x轴上，A是椭圆的上顶点，B是椭圆的右顶点，P是椭圆上的一点，且xPF1轴，ABPF//2,求此椭圆的离心率。2，已知椭圆)0(12222babyax的左焦点),0(),0,(),0,(bBaAcF是椭圆的两个顶点，若1F到直线AB的距离为b77，求椭圆的离心率。3，已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于D点，且FDBF2，求C的离心率。4，设椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围。三，直线与椭圆的位置关系1，椭圆)0(12222babyax的离心率为23，且椭圆与直线082yx相交于QP,，且10PQ，求椭圆的方程。2，直线l过点)1,1(P与椭圆13422yx相交于BA,两点，若P为AB中点，试求直线l的方程。3，已知椭圆C的标准方程为13422yx，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4:，椭圆C上有不同两点关于直线l对称。四，椭圆中的最值问题1，已知椭圆192522yx，直线04054:yxl，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？2，点BA,分别是椭圆1203622yx长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，.PFPA（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上点到点M的距离d的最小值。五，椭圆两种定义的应用1，在直线04:yxl上任取一点M，过M且以椭圆1121622yx的焦点为焦点作椭圆，问M在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。2，已知椭圆13422yx内有一点FP),1,1(是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MFMP2最小。六，综合问题1，过点)2,0(P作直线l交椭圆12:22yxC于BA,两点，当AOB得面积最大时，求直线l的方程。2，已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于BA,两点，OBOA与)1,3(a共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM。求证：22为定值。3，椭圆)0(12222babyax的两个焦点为McFcF),0,(),0,(21为是椭圆上一点，满足.021MFMF（1）求离心率e的取值范围；（2）当离心率e取得最小值时，点)3,0(N到椭圆上的点的最远距离为25，求此时椭圆的方程。4，已知椭圆14:22yxG，过点)0,(m作圆122yx的切线l交椭圆G于BA,两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值。5，设椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，点),(baP满足.212FFPF。（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线2PF与椭圆相交于BA,两点，若直线2PF与圆16)3()1(22yx相交于NM,两点，且ABMN85，求椭圆的方程。6，在平面直角坐标系xOy中，椭圆12422yx的左顶点为M，下顶点为N，过坐标原点的直线交椭圆于AP,两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为.k（1）若直线PA平分线段NM,，求k的值；（2）当2k时，求点P到直线AB的距离；（3）对任意的0k，求证：.PBPA7，设21,FF分别是椭圆)0(12222babyax的左右焦点，过1F斜率为1的直线l与椭圆相交于BA,两点，且22,,BFABAF成等差数列。（1）求椭圆的离心率；（2