网络名师小班辅导教案-初中数学一次函数与反比例函数第4讲反比例函数与面积问题教师版

2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page1of19板块考试要求A级要求B级要求C级要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题反比例函数的定义：函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx与kyx(0k)的图像关于x轴对称，也关于y轴对称.反比例函数图像的性质1：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像是双曲线；知识点睛中考要求第四讲反比例函数与面积问题2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page2of19当0k时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：⑴反比例函数kyx(0k)的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数图像的性质2：过反比例函数0kykx，图象上一点Pxy，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积Sxyxyk.还有做三角形、梯形等等图形的时候，面积是什么？重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成y随x的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！难点：掌握反比例函数的实际运用，以及反比例函数与一次函数的综合，与几何和代数的综合重、难点2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page3of19板块一反比例函数与三角形面积问题【例1】如图，正比例函数ykx和yax(0a)的图像与反比例函数kyx(0k)的图像分别相交于A点和C点.若RtAOB和RtCOD的面积分别为1S和2S，则1S与2S的关系是()A.12SSB.1S=2SC.1S2SD.不能确定ODCBAxy【解析】设A(1x，1y)，C(2x，2y).则根据题意,1122xyxyk.∴111111222SOBABxyk,222111222SODCDxyk.又∵A点和C点均在第一象限,∴1x，1y，2x，2y均为正数,且0k.1212SSk.故选B.由此我们可以得到一个结论：在反比例函数kyx(0k)中，具有三角形面积的不变性，即12AOBCODSSk.在此基础上可以推得：平行四边形面积的不变性，即2AHFPSk.【例2】（2009湖北四市）如图，已知双曲线0kykx经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若OBC的面积为3，则k__________．【解析】2例题精讲HFAPxyODAPxyO图①图②图③OyxPBA2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page4of19xyOEDCBA【点评】我们可知此题中，OBCDBAESS，主要通过面积之间的转化，而达到简便的运算【例3】如图，在RtAOB中，点A是直线yxm与双曲线myx在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是_____.y=mxy=x+mOCBAxy【解析】∵直线yxm与双曲线myx交于点A,设A点的坐标为,AAxy.则有,AAAAmyxmyx.∴AAmxy.又∵点A在第一象限,∴,AAAAOBxxAByy.∴111222AOBAASOBABxym.而已知2AOBS.∴4m.【例4】如图，已知1122AxyBxy，，，是双曲线kyx在第一象限内的分支上的两点，连结OAOB，．（1）试说明111kyOAyy；（2）过B作BCx轴于C，当4m时，求BOC的面积．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page5of19DCBAOyx【解析】（1）过点A作ADx轴于D，则11ODxADy，，因为点11Axy，在双曲线kyx上，故11kxy，又在RtOAD中，ADOAADOD，所以111kyOAyy；（2）BOC的面积为2．【补充】如图，已知反比例函数8yx与一次函数ykxb的图象交于AB，两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2．求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积．MBAOyx【解析】⑴由已知易得2442AB，，，，代入ykxb中，求得2yx；⑵当0y时，2x，则2yx与x轴的交点20M，，即2OM|，于是AOBAOMBOMSSS1111242262222ABOMyOMy【例5】（2009年兰州中考）如图，已知A（4，n），B（2，4）是一次函数ykxb的图象和反比例函数myx的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page6of19（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB△的面积；（3）求方程0mkxbx的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkxbx的解集（请直接写出答案）.图14OCBAyx【解析】（1）∵B（2，4）在函数myx的图象上∴8m．∴反比例函数的解析式为：8yx．∵点A（4，n）在函数8yx的图象上∴2n∴A（4，2）∵ykxb经过A（4，2），B（2，4），∴4224kbkb解之得12kb∴一次函数的解析式为：2yx（2）∵C是直线AB与x轴的交点∴当0y时，2x∴点C（2，0）∴2OC∴AOBACOBCOSSS△△△112224226（3）14x，22x（4）40x或2x【例6】如图，已知反比例函数kyx的图象与一次函数yaxb的图象交于2Mm，和14N，两点．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page7of19（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON的面积；（3）请判断点41P，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．DNMCBAOyx【解析】⑴由已知，得4441kkyx，，．又∵图象过2Mm，点，∴2m，∵yaxb图象经过MN，两点，∴,422baba解之得,22ba∴22yx．⑵如图，对于22yx，0y时，1x，∴101AOA，，，∴1111121432222MONMOANOASSSOAMCOAND⑶将点41P，的坐标代入4yx，知两边相等，∴P点在反比例函数图象上．【例7】如图，点A、B在反比例函数kyx(0k)的图象上，且点A、B的横坐标分别为a和2a(0a)ACx轴，垂足为C，AOC的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a，1y)，(2a，2y)也在反比例函数的图象上，试比较1y与2y的大小；⑶求AOB的面积．xyOCBAExyOCBAD2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page8of19【解析】⑴由题意设A(a，ka)，则11222AOCkSaka，得4k故反比例函数的解析式为4yx⑵因为反比例函数4yx，在每一象限内，y随x的增大而减小，由0a，得2aa，所以12yy⑶如图，作BDx轴于D，设AC与OB相交于点E，易知AOEECDBSs梯形，故AOBACDBSs梯形，易求4ACa，2BDa，CDa，所以142()32AOBACDBSSaaa梯形【例8】(2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为(33，3)，点B的坐标为(6，0)．⑴若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形OAB，请直接写出A、B的对称点A、B的坐标；⑵若将三角形OAB沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数63yx的图像上，求a的值；⑶若三角形OAB绕点O按逆时针方向旋转度(090)．当=30时点B恰好落在反比例函数kyx的图像上，求k的值．【解析】⑴关于y轴轴对称，则横坐标变为相反数，纵坐标不变.所以，'(33,3)A，'(6,0)B.⑵向右平移a个单位，则横坐标增加a，纵坐标不变。所以，移动之后到(33,3)a，因为在63yx的图象上，所以(33)363a，53a.⑶观察可知，因为(33,3)A，横纵坐标绝对值之比为3，所以30AOB.又因为||6||AOBO，所以AOB是等腰三角形，逆时针旋转30相当于关于x轴对称，所以B点变到(33,3)，乘积为93，即93k.版块二反比例函数与四边形面积问题【例9】（2006泉州市中考）如图，点P在反比例函数的图像上，过P点作PAx轴于A点，作PBy轴－6OBxyA2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page9of19于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为.POAByx【解析】矩形OAPB的面积9BPAPxyk，故该反比例函数的解析式为9yx.【例10】在函数kyx(0x)的图像上取三点A、B、C，由这三点分别向x轴、y轴作垂线，设矩形12AAOA、12BBOB、12CCOC的面积分别为AS、BS、CS，试比较三者大小.C2B2C1B1A2A1CBAOyx【解析】设点A的坐标为(a，b)，因为点A在双曲线kyx上，所以kba，即abk.因为A在第一象限内，所以11ASOAAAabk，同理可得ABCSSSk.由此我们可以得到一个结论：在反比例函数kyx(0k)中，具有矩形面积的不变性，即121212AAOABBOBCCOCSSSk.在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即2211AABBAABBSS【变式】由上题结论可推得：梯形面积与三角形面积的不变性：AOBABFESS梯形1122ABFOCACOEABFOCACOEBDOFABFESSSSSS梯形ABFOCACOBOFAOBSSSS2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第4讲·教师版page10of19OyxDFCEBA【例11】(06泉州市中考)如图，点P在反比例函数的图像上，过P点作PAx轴于A点，作PBy轴于B点，矩形OAPB的面积为9，则该反比例函数的解析式为.POAByx【解析】矩形OAPB的面积9BPAPxyk，故该反比例函数的解析式为9yx.【例12】（2009甘肃兰州）如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx（0x）的图象上，则点E的坐标是（，）.图11OFEDCBAyx【解析】设点E的坐标为xy，，又四边形ABCO的边长为1，所以可得111xx，所以点E的坐标为（5