网络名师小班辅导教案-初中数学一次函数与反比例函数第5讲一次函数与反比例函数的综合学生版

2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page1of18板块考试要求A级要求B级要求C级要求反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题反比例函数的定义：函数kyx(k为常数，0k)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数kyx与kyx(0k)的图像关于x轴对称，也关于y轴对称.反比例函数图像的性质：反比例函数kyx(k为常数，0k)的图像是双曲线；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的知识点睛中考要求第五讲一次函数与反比例函数综合2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page2of18增大而减小；当0k时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大.注意：⑴反比例函数kyx(0k)的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k时，双曲线kyx的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x，即0x或0x的缘故．如果笼统地叙述为0k时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数的应用：反比例函数在实际生活和科学领域都有广泛的应用，我们通过对题目的阅读理解，抽象出实际问题中的函数关系，将文字转化为数学语言，再利用反比例函数的思想方法来解决实际问题。1.用反比例函数解决实际问题的方法和步骤（1）审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）根据常量与变量之间的关系，设出函数的关系式，待定的系数用字母来表示；（3）有题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。（4）写出函数关系式，并注意关系式中的变量的取值范围。（5）用函数关系去解决实际问题。2.运用反比例函数模型解实际问题时，要掌握一些基本的模型（1）当体（面）积为定值时，底面积（边长）与高成反比例函数关系。（2）当工程总量为定值时，工作时间与工作效率成反比例函数关系。（3）当力F所作的功一定时，力F与物体在F方向通过的距离s成反比例函数关系；（4）杠杆定律：力×力臂=定值（5）压强公式：P=F÷S，其中p为压强，F为压力，S为受力面积；3.用反比例函数解决实际问题时应注意几个问题：（1）设未知量要恰当.恰当地设未知量可以使运算简单，解题过程简单，计算准确率高，否则将会带来不必要的麻烦。（2）求出函数关系式后，要注意字母（或自变量）的取值范围：一般在实际问题中，①自变量的取值范围都是非负的。②有的取值范围只能是某一些范围内的数。（3）求出问题的解，既要符合题目中的方程，还要符合问题中的实际意义。2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page3of18板块一对交点坐标的考核【例1】（2009湖北荆门）直线0yaxa与双曲线3yx交于1122AxyBxy，、，两点，则122143xyxy_____________．【补充】已知正比例函数与反比例函数图象交点到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，求它们的解析式．重点：本节的重点是反比例函数的概念和性质，特别是反比例函数的性质的描述，注意在描述时候不能直接表示成y随x的增大或减小而增大或减小，一定要强调象限！难点：掌握反比例函数的实际运用，以及反比例函数与一次函数的综合，与几何和代数的综合重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page4of18【例2】（2002全国数学竞赛辽宁预赛）若一次函数3yxb和反比例函数3byx的图像有两个交点，当b______时，有一个交点的纵坐标为6.【例3】（2009湖北武汉）如图，直线43yx与双曲线0kyxx交于点A．将直线43yx向右平移92个单位后，与双曲线0kyxx交于点B，与x轴交于点C，若2AOBC，则k_________．CABOyx【例4】一个一次函数的图象与直线59544yx平行，与x轴，y轴分别交于A，B两点，并且通过125，，则在线段AB上（包括端点A，B两点），横纵坐标都是整数的点有_______个．【补充】（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy中，直线yx向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数kyx的图象的一个交点为2Aa，，则k的值等于．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page5of18【例5】(06年北京课改卷)在平面直角坐标系xOy中，直线yx绕点O顺时针旋转90的到直线l.直线l与反比例函数kyx的图象的一个交点为A(a，3)，试确定反比例函数的解析式.【例6】(06年成都中考题)已知反比例函数kyx(0k)的图像经过点A(3，m)，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为3.⑴求k和m的值.⑵若一次函数1yax的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求:AOAC的值.CBAxyO【例7】（2007四川乐山中考）如图，反比例函数kyx的图像与一次函数ymxb的图像交于(13)A，，(1)Bn，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．BOAyx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page6of18【补充】（2007四川资阳）如图，已知424ABn，，，是一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【例8】利用图象解一元二次方程230xx时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2yx和直线3yx，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230xx，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y和直线yx，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6yx的图象（如图9所示），利用图象求方程630xx的近似解（结果保留两个有效数字）．（图9）yxO6yx3663-3-6-6-3（图9）yxO6yx3663-3-6-6-32010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page7of18板块二与其它几何图形的综合考核【例9】(05年广西中考题)已知一次函数ykxb(0k)的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数myx(0m)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D.若1OAOBOD，⑴点A、B、D的坐标；⑵求一此函数与反比例函数的解析式.xyOCBAD【例10】如图，P是函数12yx(0x)图象上一点，直线1yx交x轴于点A，交y轴于点B，PMOx轴于M，交AB于E，PNOy轴于N，交AB于F.求AFBE的值.EFPNBMAxyO2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page8of18【例11】(06年天津中考题)反比例函数2kyx和一次函数21yx,其中一次函数图像经过(a，b)、(1a，bk)两点.⑴求反比例函数的解析式；⑵求出两函数的交点A的坐标.在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来;若不存在,请说明理由.【例12】（2007内蒙呼和浩特课改）如图，已知反比例函数12kyx的图象与一次函数2ykxb的图象交于AB，两点，1122AnB，，，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．AOyx2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page9of18【例13】如图，已知RtABC的顶点A是一次函数yxm与反比例函数myx的图像在第一象限内的交点，且3AOBS．（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DEx轴于E，那么ODE的面积与AOB的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．【补充】如图所示，设反比例函数1yx的两支为12CC、，正三角形PQR三个顶点位于此反比例函数的图象上．⑴求证：PQR、、不能都在反比例函数的同一支上．⑵设1P，-1在2C上，QR、在1C上，求顶点QR、的坐标．RQPC2C1Oxyy=xyxOC1C2PQR2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page10of18【补充】如图，已知反比例函数12yx的图象和一次函数7ykx的图象都经过点2Pm，。①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD的顶点AB，在这个一次函数图象上，顶点CD，在这个反比例函数图象上，两底AD，BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和2a，求a的值。FEPDyxOCBA【例14】(2006广安市中考)如图，如果函数yx与4yx的图像交于A，B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，求BOC的面积.CBAxyO2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page11of18【补充】（2007四川成都中考）如图，一次函数ykxb的图像与反比例函数myx的图像交于(21)(1)ABn，，，两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积．OBAyx【例15】(全国初中数学联赛题)正比例函数ykx(0k)与反比例函数1yx的图象相交于A、C两点，过A作ABx轴于B，连结BC，若ABC的面积为S，求S．【例16】（2009广西玉林）将直线yx向左平移1个单位长度后得到直线a，如图，直线a与反比例函数10yxx的图象相交于A，与x轴相交于B，则22OAOB_____________．yxABOa2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page12of18(3)Bm，xyO(14)A，FCBAOxy【例17】(2007广东课改)如图，在直角坐标系xOy中，一次函数1ykxb的图像与反比例函数2kyx的图像交于143ABm，，，两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求AOB的面积．【补充】（2009四川达州）如图，直线ykxb与反比例函数0kyxx′的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为24，，点B的横坐标为4．⑴试确定反比例函数的关系式；⑵求AOC的面积．2010年·暑假·短期班一次函数与反比例函数·第5讲·学生版page13of18板块三在实际问题中的综合应用【例18】(18届希望杯)某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.y=ktyt14321y=mtO【补充】（200