网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第2讲二次函数解析式教师版

2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page1of17板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数能根据实际情境了解二次函数的意义；会利用描点法画出二次函数的图像能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；能从函数图像上认识函数的性质；会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题一、二次函数的图像与系数关系1.a决定抛物线的开口方向：当0a时抛物线开口向上；当0a时抛物线开口向下a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a相等，则其形状相同，即若a相等，则开口及形状相同，若a互为相反数，则形状相同、开口相反.2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2bxa）当0b时，抛物线的对称轴为y轴；当,ab同号时，对称轴在y轴的左侧；当,ab异号时，对称轴在y轴的右侧.3.c的大小决定抛物线与y轴交点的位置.（抛物线与y轴的交点为0c，）当0c时，抛物线与y轴的交点为原点；当0c时，交点在y轴的正半轴；当0c时，交点在y轴的负半轴.知识点睛中考要求第二讲二次函数的解析式2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page2of17二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：20yaxbxca（2）顶点式：2yaxhk0a（3）双根式（交点式）：120yaxxxxa2.如何设点：⑴一次函数yaxb（0a）图像上的任意点可设为11xaxb，.其中10x时，该点为直线与y轴交点.⑵二次函数2yaxbxc（0a）图像上的任意一点可设为2111xaxbxc，.10x时，该点为抛物线与y轴交点，当12bxa时，该点为抛物线顶点．⑶点11xy，关于00xx，的对称点为010122xxyy，．4.如何设解析式：①已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；②已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③已知抛物线与x的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数图象分布与系数的关系【例1】⑴（07济南）已知2yaxbx的图象如下左图所示，则yaxb的图象一定过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限重、难点1.灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2.二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page3of17C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限⑵（07常州）若二次函数222yaxbxa（ab，为常数）的图象如下中图，则a的值为（）A.2B.2C.1D.2⑶（07南宁）已知二次函数2yaxbxc的图象如下右图所示，则点Pabc，在第象限.OyxyxAOyxO【解析】⑴通过图象可以看出：0a，02ba，∴0b，∴一次函数yaxb的图象不经过第一象限.选C．⑵由图象可知220a且0a，∴2a，故选D．⑶由图象可知，0a，0b，0c∴0bc∴Pabc，在第三象限．【巩固】（09浙江台州）已知二次函数2yaxbxc的y与x的部分对应值如下表：x…1013…y…3131…则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴C.当4x时，0yD.方程20axbxc的正根在3与4之间【解析】D．【例2】（09湖北黄石）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：①0abc；②1abc；③0abc；④420abc；⑤1ca其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤Oxy-111【解析】C2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page4of17【巩固】（08天门）已知二次函数20yaxbxca的图象如图所示，下列结论：①0abc；②20ab；③0abc；④0ac，其中正确结论的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选C．【例3】已知函数2yaxbxc（0a）的图象，如图所示．求证：22()acbOyx-11【解析】方法一：根据图象得：0,0ac122bbaa224ba①又∵240bac，∴2440aac即：4()0aac∴220204()acacaaaacaac②由①②式得：22()acb方法二：根据图象得，当1x时0y，即0abc，∴()bac由0a，12ba得：0b当0x时0y得0c∴22()0()bacbac即：22()acb．【例4】2yaxbxc的图象如图所示．并设|||||2||2|Mabcabcabab则（）A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正，为负或为0Oyx1-1【解析】依题意得0a，012ba，2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page5of17∴0b，20ab，20ab，又当1x时，0yabc，当1x时，0yabc，故()()(2)(2)2()0Mabcabcabababc于是选C．【附加题】二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示，求a的取值范围Oyx11【解析】根据二次函数图象可知0a，又此二次函数图象经过(10)，，(01)，则有0abc，1c，得(1)ba，于是22214(1)(1)1()24aaayaxaxaxaa根据函数图象可知102axa，24(1)14aaa于是有10a．【附加题】已知抛物线2yaxbxc的一段图象如图所示．Oxy-1-1⑴确定a、b、c的符号；⑵求abc的取值范围．【解析】⑴由抛物线开口向上，所以0a．又抛物线经过点01，，所以10c．因为抛物线的对称轴在y轴的右侧，从而02ba，结合0a便可知0b．所以0a，0b，0c．⑵设2fxaxbxc，由图象及⑴可知2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page6of1710001fabcabc，，，，，即11101.abbabc，，，因为abc11bb2b，所以20abc．二、二次函数解析式的确定1.简单的二次函数解析式的确定【例5】已知一个二次函数过(0，0)，(1，11)，(1，9)三点，求二次函数的解析式.【解析】此题已知图象经过的三点坐标，因此可设成一般式.设二次函数的解析式为：2yaxbxc，∵函数图象经过(0，0)，(1，11)，(1，9)三点，∴0,11,9.cabcabc，解此方程组，得：10,1,0.abc，∴二次函数的解析式为：210yxx.【例6】已知二次函数图象经过点(1A，3)，(0B，2)，(5C，3)三点，求此二次函数解析式.【解析】解法一：一般式设此二次函数解析式为：2yaxbxc，由已知得：322553abccabc，解得15652abc，∴此二次函数的解析式为216255yxx.解法二：顶点式∵抛物线经过(1A，3)，(5C，3)，∴抛物线的对称轴为3x，∴设抛物线的解析式为：2(3)yaxh，将(1A，3)，(0B，2)代入得：4392ahah，解得15195ah，∴抛物线的解析式为2119(3)55yx，化为一般式为：216255yxx解法三：对称点式2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page7of17∵抛物线经过(1A，3)，(5C，3)，∴设抛物线的解析式为：(1)(5)3yaxx将(0B，2)代入得：532a，解得15a，∴抛物线的解析式为：1(1)(5)35yxx，化为一般式为：216255yxx【例7】已知二次函数过点(0，1)，且顶点为(1，2).求函数解析式.【解析】设二次函数的解析式为：2(1)2yax∵二次函数过点(0，1)，∴21(01)2a，即：12a∴3a∴二次函数的解析式为：23(1)2yx即：2361yxx.【巩固】已知：一条抛物线的形状和2yx相同且对称轴为12x，抛物线与y轴交于一点01，，求函数解析式.【解析】设函数的解析式为：21()2yxk或21()2yxk将01，代入21()2yxk和21()2yxk解得154k，234k，∴所求抛物线的解析式为215()24yx或213()24yx，展开得21yxx或21yxx【例8】求符合下列条件2yax的解析式：⑴通过点32，；⑵与212yx的图象开口大小相同，方向相反；⑶当自变量x的值由1增加到2时，函数值减少4.【解析】⑴因为函数通过点32，，所以：22(3)a，∴29a，∴229yx⑵因为所求函数与212yx的图象开口大小相同，方向相反，所以：∴12a，∴212yx.⑶由题意知：44aa，∴43a，∴243yx.【例9】已知二次函数49，的图象顶点在y轴上，2cb，且经过点28P，点，求此二次函数的解析式．2010年·暑假·短期班二次函数·第2讲·教师版page8of17【解析】经审题本题用“顶点”待定法简便．由于22424bacbyaxaa，所以由此二次函数图象顶点在22yx轴上得02ba，即0b．从而由2cb得2c．又此二次函数的图象经过点28，，则有282022a，得32a．于是二次函数的解析式是．2322yx．【例10】设二次函数2fxaxbxc，当3x时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4．求fx．【解析】因为对称轴为3x，且在x轴上截得的线段长为4，则图象可知，与x轴的交点的横坐标为1、5，可设15fxaxx，从而得到215310axxax，由10f或50f，解得52a．所以25251522fxxx．【巩固】设二次函数2fxaxbxc满足条件；02f，11f，且其图象在x轴上所截得的线段长为22．求这个二次函数的解析式．【解析】由02f，11f，得21cabc，，即23cba，，因此232fxaxax．设图象与x轴的交点坐标为10x，，20x，，则1222xx24||baca2324aaa，整理得27290aa，则1a或97a．所以242fxxx，或者2912277fxxx．【例11】已知函数212yxx的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线2yaxbxc过A、B，顶点为P，且APB是等腰直角三角形