网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第3讲抛物线与几何变换学生版

2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page1of7内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图的平移（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()yaxhk的形式，确定其顶点(,)hk，然后做出二次函数2yax的图像，将抛物线2yax平移，使其顶点平移到(,)hk.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.二、二次函数图象的对称知识点睛中考要求第三讲抛物线与几何变换2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page2of7二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．1.灵活应用二次函数的三种表达形式，求二次函数解析式。2.二次函数图象平移、中心对称、轴对称后，系数间的关系。一、抛物线的平移【例1】函数23(2)1yx的图象可由函数23yx的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page3of7【例2】⑴（09湖北孝感）将函数2yxx的图象向右平移0aa个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为()A．1B．2C．3D．4⑵（09湖北鄂州）把抛物线2yaxbxc的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235yxx，则abc________________．⑶（09湖北孝感）对于每个非零自然数n，抛物线221111nyxxnnnn与x轴交于nnAB、两点，以nnAB表示这两点间的距离，则112220092009ABABAB…的值是A．20092008B．20082009C．20102009D．20092010【例3】（08宁波）如图，ABCD中，4AB，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线2yaxbxc经过x轴上的点A，B．⑴求点A，B，C的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．【例4】（09浙江宁波）抛物线254yaxxa与x轴相交于点AB、，且过点54C，．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标．（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．yxOABCD2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page4of7【例5】⑴设抛物线22yx，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使抛物线与直线4yx恰好有一个交点，求p、q的值．⑵把抛物线22yx向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点13，和49，，求p、q的值．⑶把抛物线2yaxbxc向左平移3个单位，向下移2个单位后，所得抛物线为2yax，其图象经过点112，，求原解析式．【例6】（2010年海淀一模）关于x的一元二次方程240xxc有实数根，且c为正整数.（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中,抛物线24yxxc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C.点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为,mn,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.【例7】已知关于x的一元二次方程22410xxk有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线12yxbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围.2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page5of7二、抛物线的对称【例8】函数2yx与2yx的图象关于______________对称，也可以认为2yx是函数2yx的图象绕__________旋转得到．【例9】已知二次函数221yxx，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．【例10】（“宇振杯”竞赛）设曲线C为函数20yaxbxca的图象，C关于y轴对称的曲线为1C，1C关于x轴对称的曲线为2C，则曲线2C的函数解析式为________________．【例11】(2006年太原市数学竞赛题)已知二次函数2441yaxaxa的图象是1C．⑴求1C关于点10R，中心对称的图象2C的解析式；⑵设曲线1C、2C与y轴的交点分别为,AB，当18AB时，求a的值．【例12】（06太原）已知二次函数2441yaxaxa的图象是1c．⑴求1c关于10R，成中心对称的图象2c的函数解析式；⑵设曲线12cc、与y轴的交点分别为AB，，当18AB时，求a的值．2010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page6of7【例13】（2010年延庆一模）如图，已知抛物线1C：225yax的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线2C与抛物线1C关于x轴对称，将抛物线2C向右平移，平移后的抛物线记为3C，3C的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求3C的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线1C绕点Q旋转180后得到抛物线4C．抛物线4C的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【习题1】（09天津）在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx家庭作业yxAOBPM图1C1C2C3图24-1yxAOBPN图2C1C4QEF图24-22010年·暑假·短期班二次函数·第3讲·学生版page7of7【习题2】已知抛物线265yxx，求⑴关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶关于原点对称的抛物线的表达式．【习题3】（09兰州）把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．213yxB．213yxC．213yxD．213yx【习题4】（09甘肃庆阳）将抛物线22yx向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．221yxB．221yxC．221yxD．221yx【习题5】（07金华）将抛物线23yx向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A.232yxB.23yxC.23(2)yxD.232yx【习题6】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224yxx，则平移前抛物线的解析式为________________．