网络名师小班辅导教案-初中数学二次函数第4讲二次函数与其它代数综合教师版

2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page1of20内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数与一次函数的联系一次函数0ykxnk的图像l与二次函数20yaxbxca的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1）y轴与抛物线2yaxbxc得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线xh与抛物线2yaxbxc有且只有一个交点(h,2ahbhc).（3）抛物线与x轴的交点:二次函数2yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程20axbxc的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.知识点睛中考要求第四讲二次函数与其它代数综合2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page2of20（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是2axbxck的两个实数根.（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线2yaxbxc与x轴两交点为1200AxBx，，，，由于1x、2x是方程20axbxc的两个根，故1212,bcxxxxaa222212121212444bcbacABxxxxxxxxaaaa2.二次函数常用解题方法⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设20fxaxbcca的二实根为1x，2x，12xx，24bac，且，是预先给定的两个实数．⑴当两根都在区间，内，方程系数所满足的充要条件：∵12xx，对应的二次函数fx的图象有下列两种情形：x1x2a0OxyyxOx2x1当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f．2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page3of20当0a时的充要条件是：0，2ba，0f，0f．两种情形合并后的充要条件是：0200baff，，……①⑵当两根中有且仅有一根在区间,内，方程系数所满足的充要条件；∵1x或2x，对应的函数fx的图象有下列四种情形：x1xyOx1xyOxyx1Oxyx1O从四种情形得充要条件是：0ff……②⑶当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间，的两旁时；∵12xx对应的函数fx的图象有下列两种情形：xyx2x1OOx1x2yx当0a时的充要条件是：0f，0f．当0a时充要条件是：0f，0f．两种情形合并后的充要条件是：()0f，()0f……③当两根分别在区间[,]之外的同侧时：∵12xx或12xx，对应函数fx的图象有下列四种情形：2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page4of20xyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2Oxyx1x2O当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f……④当12xx时的充要条件是：0，2ba，0f……⑤4区间根定理如果在区间ab，上有0fafb，则至少存在一个xab，，使得0fx．此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．f(b)f(a)ba重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．板块一二次函数与一次函数的综合重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page5of20【例1】（09湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）【解析】本题考查函数图象与性质，当0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数1yax＋与210yaxbxa＋＋（）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．【巩固】（09年嘉兴市）已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy与2axy的图象有可能是（）【解析】考察系数与函数图像的关系。A选项：一次函数01a＜＜，二次函数1a；B选项：一次函数1a，二次函数1a；C选项：一次函数1a，二次函数1a；D选项：一次函数1a，二次函数1a.【解析】所以选C【例2】（08泰州市）如图，已知二次函数2yaxbxc的图像经过三点A1,0，B3,0，C0,3，它的顶点为M，又正比例函数ykx的图像于二次函数相交于两点D、E，且P是线段DE的中点。⑴该二次函数的解析式，并求函数顶点M的坐标；⑵知点E2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图像求出符合条件的自变量x的取值范围；⑶02k时，求四边形PCMB的面积s的最小值。【参考公式：已知两点11Dxy，，22Exy，，则线段DE的中点坐标为121222xxyy，MPEDCBAOyx【解析】由2yaxbxc，2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page6of20则得09303abcabcc，解得123abc故函数解析式是：223yxx。由222314yxxx知，点M（1，4）。（2）由点E2,3在正比例函数ykx的图像上得，332,2kk得，故32yx，由23223yxyxx解得D点坐标为（39,24），由图象可知，当二次函数的函数值大于正比例函数时，自变量x的取值范围是322x。（3）223ykxyxx解得，点D、E坐标为D（2224162416,22kkkkkkk）、E（222416241622kkkkkkk，），则点P坐标为P（22,22kkk）由02k，知点P在第一象限。由点B3,0，C0,3，M（1，4），得13411524222COBMS四边形，则1515121233222222OPCOPBPCMBkkSSSk四边形整理，配方得：231934216PCMBSk四边形。故当12k时，四边形PCMB的面积值最小，最小值是9316。板块二二次函数与反比例函数的联系【例3】（2009烟台市）二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）【解析】考察函数图像与系数之间的关系。由二次函数图像可知 00ab＞，＜，0c＜，2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page7of20所以240bac＞。当x=1时，y＜0，所以a+b+c＜0.所以选D。【例4】(2009年义乌)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数1yx图像的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数1yx，求它的图像的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数(0)kykx，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数2(0)yaxca，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标，写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？(本小题只需直接写出答案)【解析】（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为2；当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形的边长为a，易得32a．解得23a，所以正方形边长为123．（2）如图2，作DECF，分别垂直于xy、轴，易知ADEBAOCBF△≌△≌△．此时，2m，DEOABFm，OxyCDABF321123图2EOxyDCBA图12010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师版page8of202OBCFAEm，2OFBFOB，C点坐标为(22)m，，22(2)mm解得1m．反比例函数的解析式为2yx．（3）(13)，；(73)，；(47)，；(41)，．对应的抛物线分别为212388yx；272234040yx；23177yx；235577yx．所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．板块三二次函数与方程与不等式的联系1.二次函数与不等式的联系【例5】（09辽宁本溪）如图所示，抛物线20yaxbxca与x轴的两个交点分别为10A，和20B，，当0y时，x的取值范围是．-121OxyBA【解析】由图可得1x或2x．【巩固】（09山东德城）如下右图是抛物线2yaxbxc的一部分，其对称轴为直线1x，若其与x轴交点为30B，，则由图象可知，不等式20axbxc的解集是．31xyOB【解析】由对称轴1x和30B，可得：抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为10，，所以不等式的解集为1x或3x．【例6】解不等式：22xxx．2010年·暑假·短期班二次函数·第4讲·教师