例题 ch7 应力状态和强度理论

1第7章应力状态和强度理论例题1例题2例题3例题7-2例题7-3例题4例题7-5例题5例题7-6例题6例题7例题8例题9例题7-72解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：MPa7.631004π1050023AFx例：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点=30°截面上的应力。(b)Cxtxxxtxtytyy(a)xTFTCF3MPa9.1660sin60cos202030xxxtMPa4.452cos2sin2030ttxx图示斜截面上应力分量为：MPa7.3510016π10736PeWMxtCxtxxxtxtytyy30°nt-30-30°°4解：按一定比例画出应力圆。0MPa7.63x0yMPa7.35yxtt例：用图解法求图示=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：x30°tx=35.7MPax=63.7MPayn5按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：MPa1730MPa4630t7.357.63，xD7.350，yD则x、y截面在应力圆上两点为：10MPatODy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°E-30°-30°，t)6例求图a所示应力状态的主应力及方向。MPa100xMPa40xtMPa30yMPa40yt40,100xD40,30yD解：1、应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)tDxDyA3A120(b)7MPa403MPa110102'163020'8150由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：101yx(c)82、解析法：221103575MPa4022ixyxyxjt123110MPa040MPa，，1383010040222tan0yxxt'1630200k'8150所以：⇒9例：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两点处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：(a)B1.6m2mA250kNC(b)fza(c)b1201527015910(d)FS图M图(e)M(kN·m)80x200kN50kNFSx由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：mkN80CMkN200SCF又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：114633m10881227.0111.0123.012.0zI36*m102560075.015.0015.012.0zaS且：m135.0ay由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：MPa7.122135.01088108063azCayIMMPa6.64109108810256102003663*SdISFzzaCatza(c)b1201527015912该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。ty(f)tyytxxxtxxx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPa/MPat/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max20(g)由应力圆可得a点处的主应力为：MPa150111CAOCOA1302且：4.467.1226.642arctan20则1主平面的方位角0为：2.230显然，3主平面应垂直与1主平面，示意图如下：MPa27223CAOCOAy31tytytxxxtxx2.23014对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：MPa4.13615.01088108063bzCbyIM0bt该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图i所示。x=136.5MPa(h)xyx(i)maxD2(0,0)/MPat/MPaD1(136.4,0)15b点处的主应力为：MPa4.13610321主平面就是x平面，即梁的横截面C。1617例题7－1已知一点应力状态如图示，求及主应力、主平面、t，maxt603020单位：MPa30°στααα0α01122σσσσ1820MPa,=60xyxt=30MPa，=60MPa，1cos2sin235.2MPa22sin2cos223MPa2xyxyxxyxttt22704525MPa20220ixyxyxjkt12370MPa,20MPa,0t，解：1）求maxt2）求主应力、主平面、603020单位：MPa30°στααα0α01122σσσσ190002404tan2303253.13,26.57xxyt13max35MPa2t主平面：因为yx所以01y与的夹角为，2x与0的夹角为剪应力最大值大偏大，小偏小，夹角不大于45度。603020单位：MPa30°στααα0α01122σσσσ20(g)/MPat/MPaOA2A1CD2(60,20)D1(30,-20)2max20)20,60()20,30(yxDD603020单位：MPa30°στααα0α01122σσσσ21例题7－2求图示梁K点的斜面上应力与主应力，最大剪应力。30ABk800P=20kN3001001180mm160mm20kC80mm160mm20kC3022110kN,3kNmSFM13*9310......2.2MPa1010801601.1MPa801608012501010kxkzSkzxkzMyIFSIbtt2.2MPa1.1MPa解：1）求1－1截面上的内力2）求横截面上的应力303）求斜面上应力cos2sin22.61MPa22sin2cos20.41MPa2xxxxxttt23222.661.11.56MPa0.46220ixxxjkt1232.66MPa,0,0.46MPa000tan21245,22.513max3.12MPa2t4）求主应力和最大剪应力σ3σ12.2MPa1.1MPaσ1σ322.5°22.5°2.2MPa1.1MPa24例题7－4：用应力圆法解例题7－2。2.2MPa,0,1.1MPaxyxtστOCGBAD2D1EF10.40.82.01.21.62.40.40.81.21.6-0.4-0.8-1.6-1.2-0.460°,02xy222xyxt(1.121.556)302.6MPaOF300.4MPaEFt13max2.56MPa0.47MPa1.55MPaOAOBCGt解：1）作应力圆122.2,1.1,0,1.1DD连接两点与轴交于C点作圆。应力圆圆心，（1.1，0）302）求斜面上应力3）求主应力和最大剪应力半径25例题7－5单元体应力如图，求主应力，最大剪应力。单位：MPa305040平面应力状态στOCGA3A1D2D1A210MPa2α12α01233040σ3σ1α1α0σ1σ32611233max57.7MPa50MPa27.7MPa42.72MPaOAOAOGt40MPaxxt=30MPa，12(0,40)DD(30,40)，解：法一：图解法已知主应力（50MPa）方向转到与纸面垂直，得到如下图的平面应力状态。，作应力圆，连接与轴交于C点作圆1，点A1，A3各对应一主应力，A2（50，0）也对应一主应力。因此有2740MPaxxt=30MPa，2257.721542.72MPa27.722250MPaixxxjkt12357.72MPa,50MPa,27.72MPa13max57.7227.7242.72MPa22t法二：解析法1090说明：##28例：用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力tmax及作用面。解：z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyztO321maxBDAtmax(c)29MPa461MPa202MPa263图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。tO31ACDyDx(c)tOtmax321BACDyDx(d)30MPa36maxBCt作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。最大切应力对应于B点的纵坐标，即x(e)321tmax17°tOtmax321BACDyDx(d)3102231maxt601402403MPa50231maxt=60t=40可求得：例：对下列图示应力状态，求切应力最大值。32例：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=240×10-6，3=–160×10-6。材料的弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为平面应力状态，有3111E1331E33联立两式可解得：MPa3.44101603.02403.011021016293121EMPa3.20102403.01603.011021016291323E669312103.34103.203.44102103.0E主应变2为：其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。34例：讨论图示各应力状态下的体积应变。单位：MPaMPa70321MPa70321因为：所以：2010050(a)408050(b)MPa7021Ea因为：所以：MPa7021Eb可见：ba351t3－t03210321可见，图c和d所示应力状态下无体积应变。4010060(c)t(d)因为：所以：0c因为：所以：0d36例：边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：yxz(b)yxz(a)Faa3701zyxxE01xyzzE联解可得：MPa5.15112yzxMPa30